Теоретичні відомості. Формально завдання пошуку розвязку системи рівнянь

Формально завдання пошуку розвязку системи рівнянь

може бути записана точно так само, як і завдання пошуку кореня одного рівняння , де . Поблизу точки х кожна з функцій може бути розкладена в ряд Тейлора

або у векторній формі , де J – матриця Якобі з элементами

Обмежуючись тільки першими двома членами розкладу і вважаючи, що , отримуємо рівняння . Таким чином, ми отримуємо схему для уточнення розвязку системи рівнянь, аналогічну методу Ньютона для випадку одного рівняння

Оскільки обчислювати матрицю Якобі на кожному кроці досить складно, то зазвичай її елементи обчислюють наближено або використовують одні й ті ж значення на декількох кроках. Нульове наближення у випадку двох змінних можна знайти графічно: побудувати на площині криві і і знайти точки їх перетину. Для трьох і більше змінних задовільних способів підбору нульових наближень немає.

Один з різновидів методу Ньютона - метод Левенберга-Маркардта - використовує Mathcad.

Метод послідовних наближень (ітерацій) для системи двох нелінійних рівнянь

Метод простої ітерації можна застосовувати до систем, що заздалегідь приведені до вигляду:

(5.1)

або у векторній формі

(5.2)

Припустимо, що початкове наближення. Наступні наближення в метолі простої ітерації знаходяться за формулами:

(5.3)

або у векторній формі:

(5.4)

Якщо послідовність векторів збігається до вектора а функції - безперервні, то вектор є розв’язком системи.

Рівняння (5.2) має єдиний розвязок , до нього збігається послідовність (5.4) і похибка методу оцінюється нерівністю

Збіжність методу вважається гарною, якщо .

Якщо функція має безперервні частинні похідні , то достатня умова збіжності метода ітерації має вигляд: