Квадратурные формулы Гаусса и Ньютона-Котеса

Формулы для вычисленитя интегралов называют квадратурными формулами. Квадратурные формулы Гаусса и Ньютона-Котеса являются формулами интерполяционного типа. Эти формулы выводятся путем замены подинтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа и интегрирования этого многочлена. При этом часто в подинтегральном выражении предварительно выделяют положительный сомножитель – весовую функцию – учитывающий особенности подинтегральной функции. Формулы могут быть представлены в виде:

(1)

Здесь r (x)³0 – весовая функция, а коэффициенты определяются формулой:

, (2)

где

Цель введения весовой функции состоит в повышении точности квадратурной формулы путем учета особенностей подинтегральной функции. Например, при вычислении интеграла

,

где f (x) - гладкая функция, не равная нулю в точке x =0, целесообразно выделить в качестве весовой функцию ; тогда коэффициенты C определяются по формуле (2) с учетом особенности подинтегральной функции в начальной точке отрезка интегрирования. Если подинтегральная функция не имеет особенностей, то следует положить r (x) º1.

Формулы Ньютона-Котеса строятся на равномерной сетке узлов:

Различают формулы замкнутого типа, если и , и формулы разомкнутого типа, если хотя бы один из концевых узлов не совпадает с соответствующей граничной точкой отрезка интегрирования. Формулы Ньютона-Котеса, построенные для n узлов, точны для любого многочлена степени меньше n. Подставив в формулу (1) многочлен нулевой степени f (x)º1, получим условие нормировки коэффициентов:

. (3)

Квадратурные формулы Гаусса, или квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности строятся для неравномерной сетки узлов. Узлы интерполяции x_k и коэффициенты выбираются так, чтобы формулы были точны для любого алгебраического многочлена степени m £ 2· n –1. Это означает, что , удовлетворяет системе уравнений:

(4)

Решение системы (4) дает один из способов нахождения параметров формулы Гаусса. Отметим, что первое из уравнений системы совпадает с условием нормировки коэффициентов (3).

Обозначим через многочлен, корнями которого являются узлы интерполяции:

(5)

Для формулы Гаусса справедливо следующее утверждение: многочлен ортогонален с весом r (x) любому многочлену q (x) степени меньше n, т.е.

; (6)

Условие ортогональности (6) эквивалентно требованиям:

(7)

которые представляют собой систему уравнений относительно неизвестныx
Отсюда следует второй способ нахождения параметров формулы Гаусса: положение узлов интерполяции определяется из системы (7), а коэффициенты вычисляются по формуле (2), либо путем решения системы (4), в которой в данном случае достаточно оставить только n уравнений.

Если весовая функция четна относительно середины отрезка интегрирования, то есть

r [(a + b)/2 – y ] = r [(a + b)/2 + y ] при 0 £ y £ (b – a)/2, или, иначе,

r [ x ] = r [ a + b – x ] при a £ x £ b,

то формула Гаусса является симметричной: узлы формулы расположены симметрично относительно центра отрезка, а коэффициенты попарно равны:

(a + b)/2 – = – (a + b)/2 или = a + b – , = , k = 1,..,m,

где m есть целая часть частного n/2. Если число узлов – нечетно: то = (a + b)/2, а коэффициент может быть определен из условия нормировки

.

Таким образом, при наличии четной весовой функции количество уравнений в системах (4) и (7) может быть уменьшено не менее чем в два раза.

Произвольный отрезок интегрирования [ a, b ] можно привести к стандартному отрезку [-1, 1] линейным преобразованием:

t = -1 + (x – a)·2/(b – a), x = a + (t + 1)(b – a)/2

Если a = -1, b =1, то для симметричных формул имеем:

,

Напомним, что интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю. Так, например,

независимо от значений , k = 1,..,m. Поэтому в случае симметричного отрезка интегрирования для нахождения узлов формулы Гаусса следует использовать только те из уравнений (7), в которых подинтегральная функция является четной функцией x.

Из условия ортогональности (6) следует, что многочлены , описывающие узлы формулы Гаусса, образуют ортогональную систему:

, n ¹ m.

Для ряда весовых функций известны соответствующие ортогональные системы многочленов и формулы, позволяющие непосредственно вычислять положение узлов и коэффициенты формулы Гаусса.

Рассмотрим типичные примеры.

1. r (x) º 1, a = -1, b = 1. В этом случае узлы формулы Гаусса совпадают с корнями многочлена Лежандра :

, , .

Для многочленов Лежандра существует рекуррентная формула:

.

Значения коэффициентов можно определить по формуле:

2. r (x) = 1/ , a = -1, b = 1. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Чебышева первого рода T (x) и весовые коэффициенты для всех узлов одинаковы:

= Cos(n·arcCos(x)), = Cos[(2k-1)p/(2n)], = p/n, k = 1, ..,n.

3. r (x) = , a = -1, b = 1. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Чебышева второго рода:

= Sin[(n+1)·arcCos(x)]/Sin[arcCos(x)],

Узлы многочленов расположены в точках

= Cos[k·p/(n+1)], k = 1,..,n

Например, при n=3:

Вообще для данной весовой функции условие нормировки коэффициентов формулы Гаусса имеет вид:

4. r (x) = exp(), a = –¥, b = ¥. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Эрмита:

= 1,

или

Весовые коэффициенты могут быть вычислены по формулам:

.

5. r (x) = ·exp(), a = 0, b = ¥. Узлы квадратурной формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Лагерра:

.

Весовые коэффициенты могут быть вычислены по формулам:

6. r (x) = a = –1, b = 1. Узлы формулы Гаусса совпадают с корнями многочленов Якоби:

.

В частном случае, при a, b = -1/2, r (x) = первые три многочлена Якоби имеют вид:

Формула Ньютона-Котеса замкнутого типа при n=3 и r (x)º1:

h = b – a, –

называется простой формулой Симпсона. Для повышения точности расчетов отрезок интегрирования часто разбивают на несколько подотрезков. Пусть отрезок [ a, b ] разбит на m частей так, что , , i=0,..,m-1 и . Формула

называется составной формулой Симпсона. Для подинтегральной функции, имеющей непрерывную четвертую производную, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности; главный член погрешности определяется соотношением:

Если подинтегральная функция имеет какие-либо особенности, то порядок точности квадратурной формулы снижается. Так, для формулы Симпсона эффективный порядок может быть менее четырех. В подобных случаях для повышения точности расчетов и для определения значения эффективного порядка выбранной квадратурной формулы используют процесс Эйткена. Для этого проводят расчеты с различным шагом h (или, иначе, с делением исходного отрезка [ a, b ] на разное число частей). Обозначим: – результат расчетов при использовании шага , k=1;2;3, q – целое число (например, q=2). Уточненное значение интеграла определяется по формуле:

.

Эффективный порядок квадратурной формулы оценивается соотношением

.