Метод Рунге-Кутта-Фельберга

Метод Рунге-Кутта-Фельбергапозволяет оценивать погрешность решения без применения двойного пересчета. Формулы метода дают одновременно решения четвертого и пятого порядков точности. Разность этих решений служит оценкой погрешности более точного решения решения пятого порядка. Найденная оценка может использоваться для корректировки величины шага приращения аргумента.

Для нахождения нового значения неизвестной функции последовательно вычисляются величины:

(10)

Значение пятого порядка точности вычисляется как взвешенная комбинация величин :

(11)

Значения всех коэффициентов даны в таблице. Если в формуле (11) коэффициенты заменить на коэффициенты , то получим решение четвертого порядка. Фактически на практике вычисляют решение пятого порядка и оценку погрешности:

(12)

Таблица значений коэффициентов в формулах (10) – (12)

i	ai	bi,j
			-8

Метод Предиктор-Корректор с использованием метода Адамса

Метод Адамса является многошаговым методом: для вычисления очередного значения неизвестной функции y _n+1 используется несколько предыдущих ее значений: y_n, y_n–1, y_n–2,… Применяется сетка значений аргумента с постоянным шагом приращения: h=t_n+1–t_n, n = 0,1,… Общий вид формулы для m -шагового метода Адамса:

(13)

В этой формуле b_k, k=0,1,.., m – постоянные коэффициенты, а функция , как и прежде, представляет собой правую часть дифференциального уравнения. Если b₀=0, метод называется явным. В случае, когда неизвестная величина y_n+1 неявно входит в правую часть формулы (12); такой метод называется неявным. Порядок явного m-шагового метода Адамса равен m; порядок неявного метода равен m+1. Неявный метод является более точным и обладает более высокой устойчивостью. Однако применение неявного метода приводит к необходимости на каждом шаге приращения аргумента решать уравнение (12) относительно величины y_n+1. Эта трудность преодолевается в методе Предиктор–Корректор использованием на каждом шаге приращения аргумента двух формул: явной, называемой предиктором, и неявной, называемой корректором. Сначала вычисляется новое значение неизвестной функции с помощью менее точной явной формулы. Затем это значение уточняется с помощью формулы корректор; при этом для вычисления величины используется найденное значение Пара формул Адамса четвертого порядка для использования в методе Предиктор–Корректор имеет вид:

Оценка погрешности может быть найдена по формуле:

Краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений

В отличие от задачи Коши, в краевой задаче условия, определяющие решение дифференциального уравнения на заданном отрезке [a, b], формулируются в нескольких точках этого отрезка. Наиболее часто рассматривается двухточечная краевая задача, когда условия задаются только на концах отрезка: в точках a и b.

Линейная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка может быть сформулирована следующим образом. Требуется найти решение уравнения

, (14)

удовлетворяющее краевым условиям:

(15)

Предполагается, что p, q, f – дважды непрерывно дифференцирумые функции; входящие в краевые условия величины являются константами. Если в уравнении (14) , уравнение называется однородным. Если уравнение однородно и при этом A=B=0, краевая задача называется однородной. Отметим, что однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение.

Решение линейной краевой задачи методом редукции к задачам Коши

Рассмотрим линейную краевую задачу (14), (15). Решение будем искать в виде

, (16)

где C – константа, u(x) – ненулевое решение однородного уравнения , функция v(x) – решение неоднородного уравнения (14) (если , то v(x) представляет собой отличное от u(x) решение однородного уравнения).

Подставим решение (16) в первое из условий (15):

(17)

Потребуем, чтобы это краевое условие выполнялось независимо от значения C. Обнулим коэффициент при C и приравняем к A второе слагаемое:

, .

Для выполнения этих равенств достаточно положить

, (18)

. (19)

Тем самым сформулированы задачи Коши для функций u(x), v(x), сумма которых (16) представляет решение уравнения (14), удовлетворяющее краевому условию в точке x=a.

Найдя решение этих задач Коши на отрезке [a,b], подберем постоянную C так, чтобы функция y(x) удовлетворяла краевому условию в точке x=b:

. (20)

Если , то из условия (20) можно найти:

, (21)

и краевая задача имеет единственное решение. Если же знаменатель равен нулю, то задача или совсем не имеет решений, или имеет их бесконечно много.

Если исходное уравнение (14) является однородным (), и при этом A=0, то решение ищут в виде , где u(x) – решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (18). В этом случае

(при условии, что знаменатель в этом выражении не равен нулю).