Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей

Решение рассматривается на сетке с постоянным шагом:

Обозначим:

– значения соответствующих функций в точке x_i.

Во внутренних узлах сетки производные, входящие в уравнение (14), аппроксимируются с помощью формул:

(16)

(17)

Заменив в уравнении (14) производные их приближенными выражениями, придем к системе алгебраических уравнений:

(18)

где , , .

Аналогично заменим приближенными выражениями производные, входящие в краевые условия (15); при этом в точке x=b воспользуемся формулой (16), в точке x=a применим формулу:

(19)

В результате, приведем, краевые условия к следующему виду:

(2ha₀ – 3a₁)y₀ + 4a₁y₁ – a₁y₂ = 2hA, (20)

–b₁y_n–1 + 2hb₀y_n + b₁y_n+1 = 2hB (21)

Получим, в итоге, систему из (n+2) алгебраических уравнений относительно неизвестных . Эта система имеет почти трехдиагональную матрицу; лишние ненулевые компоненты находятся только в первой и последней строках матрицы, соответствующих уравнениям (20) и (21).

Приведем матрицу системы к трехдиагональному виду. Для этого, используя первое из уравнений (18), приведем уравнение (20) к виду:

(22)

где Кроме того, используя уравнение (21), обнулим коэффициент при в последнем из уравнений (18); получим в результате:

(23)

Теперь можно исключить из рассмотрения уравнение (21). Получаем, в итоге, систему с трехдиагональной матрицей, включающей уравнение (22) и систему уравнений (18), в которой последнее уравнение заменено уравнением (23).

Для решения полученной системы уравнений используется метод прогонки. Приводим уравнения системы к виду:

.

Для этого последовательно вычисляем коэффициенты:

, ,

, ,

, .

На этом заканчивается этап прямой прогонки. Далее следует этап обратной прогонки – последовательное вычисление значений неизвестных:

Для оценки погрешности решения и его уточнения можно использовать правило Рунге (формулы (8) и (9)), учитывая при этом порядок точности метода конечных разностей p=2.