![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Решение рассматривается на сетке с постоянным шагом:
Обозначим:
– значения соответствующих функций в точке xi.
Во внутренних узлах сетки производные, входящие в уравнение (14), аппроксимируются с помощью формул:
(16)
(17)
Заменив в уравнении (14) производные их приближенными выражениями, придем к системе алгебраических уравнений:
(18)
где ,
,
.
Аналогично заменим приближенными выражениями производные, входящие в краевые условия (15); при этом в точке x=b воспользуемся формулой (16), в точке x=a применим формулу:
(19)
В результате, приведем, краевые условия к следующему виду:
(2ha0 – 3a1)y0 + 4a1y1 – a1y2 = 2hA, (20)
–b1yn–1 + 2hb0yn + b1yn+1 = 2hB (21)
Получим, в итоге, систему из (n+2) алгебраических уравнений относительно неизвестных . Эта система имеет почти трехдиагональную матрицу; лишние ненулевые компоненты находятся только в первой и последней строках матрицы, соответствующих уравнениям (20) и (21).
Приведем матрицу системы к трехдиагональному виду. Для этого, используя первое из уравнений (18), приведем уравнение (20) к виду:
(22)
где Кроме того, используя уравнение (21), обнулим коэффициент при
в последнем из уравнений (18); получим в результате:
(23)
Теперь можно исключить из рассмотрения уравнение (21). Получаем, в итоге, систему с трехдиагональной матрицей, включающей уравнение (22) и систему уравнений (18), в которой последнее уравнение заменено уравнением (23).
Для решения полученной системы уравнений используется метод прогонки. Приводим уравнения системы к виду:
.
Для этого последовательно вычисляем коэффициенты:
,
,
,
,
,
.
На этом заканчивается этап прямой прогонки. Далее следует этап обратной прогонки – последовательное вычисление значений неизвестных:
Для оценки погрешности решения и его уточнения можно использовать правило Рунге (формулы (8) и (9)), учитывая при этом порядок точности метода конечных разностей p=2.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 327 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!