А.3. Вывод теоремы Гаусса в дифференциальной форме

Запишем третье уравнение Максвелла в интегральной форме.

. (А.7)

Напомним, что величина , входящая в уравнение (А.7), определяется формулой (1.1). Используя эту формулу, получаем следующее выражение:

(А.8)

– объемная плотность электрического заряда.

Напомним формулировку теоремы Гаусса в интегральной форме: поток вектора через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных в объеме V, ограниченном этой поверхностью. Отсюда следует, что поверхность и объем в уравнении (А.8) жестко связаны между собой.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (см. приложение Е)

,

которая утверждает, что поток произвольного вектора по любой замкнутой поверхности S равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.

Подставим последнюю формулу в соотношение (А.8), тогда можно записать, что

.

Последнее равенство можно переписать в следующем виде:

. (А.9)

Из формулировки третьего уравнения Максвелла в интегральной форме следует, что равенство (А.9) должно выполняться для произвольного объема. Отсюда следует, что для выполнения равенства (А.9) необходимо, чтобы выражение под интегралом в (А.9) было равно нулю в любой точке пространства, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство:

или

(А.10)

Равенство (А.10) является математической формулировкой теоремы Гаусса в дифференциальной форме.