Нормальдық (қалыпты) үлестірім заңы

Анықтама. Егер Х -кездейсоқ шамасы мына үлестірім тығыздығы

()

арқылы берілсе, онда ол нормальды (қалыпты) үлестірім заңымен берілген дейді.

() формуласынаң нормальдық үлестірімнің екі параметр арқылы анықталатынын байкаймыз: және . Нормалдық үлестірімді жазу үшін осы екі параметрді білу жеткілікті.

Математикалық күтімі (үміті) яғни нормальдық үлестірімнің математикалық күтімі оның параметрі ға тең.

Дисперсия , ал

Сонымен нормальдық үлестірімнің орташа квадраттық ауытқуы оның параметрі ‑ ға тең.

Нормальдық кездейсоқ шаманың берілген интервалға

дәл келу ықтималдығы.

Бізге белгілі, егер Х‑ кездейсоқ шамасы үлестірім тығыздығы - арқылы берілсе, онда Х‑тін аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығы төмендегідей болады:

Егер ауыстуруын енгізсек, формула мына түрге келеді:

Мұндағы:

нормаль үлестрімді кездейсоқ шаманың математикалық күтімі;

оның орташа квдраттық ауытқуы; ал

‑ Лапластың нормальданған функциясы (бұл функцияның мәндері арнайы кестеден табылады).

Мысал.

Кездейсоқ шама Х ‑ нормалдық үлестірім заңы арқылы берілген. Бұл шаманың математикалық күтімімен орташа квдраттық ауытқуы сәйкес 30 және 10. Кездейсоқ шама Х ‑тің [10;50] аралығында жататын мәндер қабылдауының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі.

формуланы қолданамыз. Шарт бойынша

Сондықтан

Екінші кесте бойынша ; сондықтан,

Берілген ауытқудын ықтималдығын есептеу.

Берілген ауытқу ықтималдығы мына формуламен анықталады:

Бұл формула кездейсоқ шаманың өзінің математикалық күтімінен ауытқуының абсолют шамасы ‑даң кіші болуының ықтималдығын анықтайды.

Дербес жағдайда, егер а=0 болса, онда

Мұндағы ‑ берілген ауытқу, ‑ нормаль заңмен үлестірілген шаманың орташа квадраттық ауытқу, Ф ‑ Лаплас функциясы.

Мысал.

Кездейсоқ шама Х ‑ нормалдық үлестірім заңы арқылы берілген.Оның математикалық ұмітімен орташа квдраттық ауытқуы сәйкес 20 және 10.

Ауытқудың абсолют шамасы бойынша үштен кіші болуының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі.

Жоғарыдағы формула бойынша, яғни

Есептін шарты бойынша .

Сондықтанда,

Кесте бойынша .

Сонымен

7. Үш сигма ережесі.

формуласындағы ‑ деп белгілейік,

онда

Егер t=3 болса , сондықтан

яғни кездейсоқ шаманың өзінің математикалық күтімінен ауытқуының абсолют шамасы ‑ дан аспауның ықтималдығы бірге өте жақын екенін көрсетеді.

Осыдан үш сигма ережесі шығады: егер кездейсоқ шама қалыпты (нормальдық) үлестірім арқылы берілсе, онда оның, математикалық күтімінен ауытқуының абсолют шамасы, үш еселенген орташа квадраттық ауытқудан асып кетпейді.

Мысал. Кездейсоқ шама қалыпты үлестірім арқылы берілген. Математикалық күтімі М(Х)=5, Д(Х)=0,64. Дифференциалдық функциясын мына интервалдан мән қабылдауының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. Есептін шарты бойынша М(Х)=5, Д(Х)=0,64; яғни

Сондықтан: