Екі өлшемді кездейсоқ шаманын үлестіру функциясы

Екіөлшемді (X, Y) кездейсоқ шама геометриялық түрде жазықтықтағы кездейсоқ (X, Y) нүкте (демек кездейсоқ координаттардағы нүкте) деп қарастыруға болады немесе кездейсоқ вектор ОМ түрінде. Үшөлшемді кездейсоқ шама геометриялық түрде М (Х, Y, Z) үшөлшемді кеңістіктегі нүкте немесе вектор ОМ болып табылады.Мақсатқа сәйкес дискреттік (бұл шамалардын жасаушылары дискретті) және үздіксіз (бұл шамалардын жасаушылары үздіксіз) көпөлшемді кездейсоқ шамаларды айыруға болады.

Екіөлшемді дискретті кездейсоқ шаманын үлстіру заңы деп осы шаманын мүмкін мәндерінін тізімін айтады(демек (X, У) сандар қосағы) және олардың ықтималдықтары

.

Кәдімгіде үлестіру заңы қос кіруімен кесте түрінде беріледі (кесте 2).

Кестенін бірінші жолында жасаушы Х -тің , ал бірінші бағанда жасаушы У -тің ба «Баған » және «жол » қиылысқан торда екіөлшемді кездейсоқ шаманын мәнін алатын ықтималдығы келтірілген.

Кесте-2

х у	X1	X2	….	Xi	….	X n
Y1	p(x1,y1)	p(x2,y1)	….	p(xi,y1)	….	p(xn,y1)
….	….	….	….	……	….	….
Yj	p(x1,yj)	p(x2,yj)	….	p(xi,yj)	….	p(xn,yj)
….	….	….	….	…..	….	….
Ym	p(x1,ym)	p(x2,ym)	….	p(xi,ym)	….	p(xn,ym)

Оқиғалардың ( толық тобын құратынын еске алсақ, кестенің барлық торлардағы ықтималдықтар қосындысы бірге тең болады.

Мысал. Үлестіру заңымен берілген екіөлшемді кездейсоқ шаманын жасаушылардың үлестіру заңын табыңыз (кесте 3).

Кесте-3

х у	X1	X2	X3
Y1	0,10	0,30	0,20
Y2	0,06	0,18	0,16

Шешуі. Баған бойынша ықтималдықтарды қосып, Х -тің мүмкін болатын мәндерінін ықтималдықтарын аламыз:

P ()= 0,16; P ()= 0,48; P ()= 0,36.

Жасаушы Х -тің үлестіру заңын жазайық:

X
P	0,16	0,48	0,36

Бақылау: 0,16+ 0,48+0,36=1.

Жол бойынша ықтималдықтарды қосып, У -тің мүмкін болатын мәндерінін ықтималдықтарын аламыз:

P ()= 0,60, P ()= 0,40.

Жасаушы У-тің үлестіру заңын жазайық:

Y
P	0,60	0,40

Бақылау: 0,60+0,40=1.

Екіөлшемді кездейсоқ (X, У) шаманы (дискретті немесе уздіксіз болуы парапар) қарастырайық. Делік, (х, у) - нақты сандар қосағы. Х -тің х - тен кіші мән алатын және сол кезде У - тің у- тен кіші мән алатын оқиғанын ықтималдығын F(x, у) деп белгілейік. Егер х және у өзгеретін болса, онда F(x, у) де өзгереді, яғни F(x, у)

х - пен у - тін функциясы болып табылады. Екіөлшемді кездейсоқ (x,y) шаманың үлестіру функциясы деп әр (x,y) сандар қосағына Х -тің х - тен кіші мәнін алу ықтималдығын анықтайтын F(x, у) функцияны атайды және сол кезде У - тің у- тен кіші мәнін қабылдайды

.

Мысал.

Тәжірибе нәтижесінде екіөлшемді кездейсоқ шама (Х,У)- тің Х жасаушы мәнді алатын ықтималдықты табыңыз және сол кезінде У жасаушы У мәнін алады, егер жүйенің үлестіру функциясы белгілі болса:

Шешуі. Екіөлшемді кездейсоқ шаманың анықтамасы бойынша

.

Делік х= 2, у =3, іздеп турған ықтималдықты табамыз:

.

1 қасиет. Интегралдық функцияныңмәндері екі жақты теңсіздікті қанағаттандырады:

Дәлелдеу. Бұл қасиет интегралдық функцияның ықтималдық түрінде анықтамасынаң шығады: ықтималдық әрқашан бірдең аспайтын теріс емес сан.

2 қасиет. Әр аргумент бойынша F(x, у) кемімейтін функция, яғни

, егер ,

, егер .

3 қасиет. Келесі шектік қатынастар орын алады:

1)

2) ,

3) ,

4) .

Асиет.

а) болғанда жүйенін интегралдық функциясы жасаушы Х -тін интегралдық функциясы болады:

.

б) болғанда жүйенін интегралдық функциясы жасаушы У -тін интегралдық функциясы болады:

.

Екіөлшемді кездейсоқ шама дифференциалдық функция арқылы да берілуі мүмкін. Осында және одан кейін үлестіру функция F(x,y) әр жерде үздіксіз және үздіксіз екінші ретті дербес туындысы бар болады деп болжайық. Екіөлшемді үздіксіз кездейсоқ (X,Y) шаманың дифференциалдық үлестіру функциясы деп функцияның екінші ретті аралас дербес туындысын айтады:

Геометриялық турде бұл функцияға бет турінде мағына беруге болады, оны үлестіру беті деп атайды.

Мысал.

Белгілі интегралдық функция бойынша кездейсоқ шамалар (X, У) жүйесінің дифференциалдық функция f(x, у) -ты табыңыз.

Шешуі. Кездейсоқ шамалар жүйесінің дифференциалдық функция анықтамасы бойынша

.

Интегралдық функциядаң х бойынша дербес туындысын табайық:

.

Шыққан нәтижедең у бойынша дербес туындысын табайық онда, дифференциалдық функцияны табамыз:

.