Задачі до практичних занять

1. Нехай АВСD – паралелограм, О - точка перетину діагоналей, а E і F — відповідно середини паралельних сторін ВС і АD. Побудувати наступні вектори:

2. Нехай АВСD - паралелограм, О - точка перетину діагоналей, а точки M і N, P і Q - відповідно середини сторін АВ і ВС, СD і DА. Побудувати наступні вектори:

3. Нехай АВСDЕF - правильний шестикутник, О - його центр. При­йнявши і , виразити

через вектори і .

4. Дано паралелограм АВСD і довільна точка О простору. Довести, що . Довести зворотне твердження: якщо для деякого чотирикутника АВСD і деякої точки О має місце , то АВСD – паралелограм.

5. Нехай АВС - довільний трикутник, а Е і Р - середини сторін АВ і ВС. Виразити вектори через і .

6. Нехай АВСD - паралелограм, а О - точка перетину його діагоналей. Прийнявши і , виразити через вектори і .

7. Нехай АВСD - паралелограм, Е і F - середини протилежних сто­рін ВС і AD, а О - точкаперетину діагоналей. Прийнявшивекто­ри і за базисні, визначити координати наступних векторів:

8. На площині дано два вектори (2;1) і (1:0). Знайти коефіціє­нти розкладу вектора (9;1) за векторами і .

9. Дано вектори . Знайти коефіцієнти розкладу вектора за векторами

10. Дано вектори При якому значені коефіцієнта α вектори колінеарні?

11. Вектори (1;3) і (2;1) співпадають зі сторонами трикут­ника. Визначити координати векторів , які співпадають з його медіанами.

12. Дано вектори .

Чи існує трикут­ник АВС, сторони АВ, ВС і АС якого відповідно паралельні векторам , і для якого
?

13. Дано вектори .

Чи існує трапеція АВСD, сторони якої відповідно паралельні даним векторам і для якої

14.На площині дано вектори
Обчислити:

15.Знайти скалярний добуток векторів і , якщо
| | = 4, | | = 6 і кут між векторами і дорівнює .

16. Знайти роботу сили на переміщенні , якщо | |= 2, | |=5,

17. Який кут утворюють між собою ненульові вектори і , якщо відомо, що вектор +3 перпендикулярний до вектора 7 -5 , вектор -4 перпендикулярний до вектора 7 -2 ?

18. Дано трикутник АВС. Виразити вектор через

вектори , де - основа висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС.

19.Нехай АВС - довільний трикутник, а С₁ - середина відрізка АВ. Довести, що

20.Обчислити довжини діагоналей паралелограма АВСD, якщо ві­домо, що , де ,

21.Довести справедливість тотожності і з'ясувати її геометричний зміст.

22. Дано одиничні вектори які задовольняють умові . Обчислити .

23. Вектори попарно утворюють один з одним кути, кожний з яких дорівнює 60°. Знаючи, що , визначити модуль вектора .

24.Довести, що вектор перпендикулярний до вектора .

25.Вектори утворюють кут . Знаючи, що , обчислити кут α між векторами .

26.Дано вектор відносно ортонормованого базису . Знайти координати вектора такого, що

27. Довести, що сума квадратів довжин медіан трикутника дорівнює суми квадратів довжин його сторін.

28. Знайти модуль вектора (6,3,-2).

29. Дано дві координати X=4, Y=-12. Знайти третю координату Z при умові, що | |=13.

30. Знайти точку N, з якою співпадає кінець вектора (3,-1,4), якщо його початок співпадає з точкою М(1,2,-3).

31. Знайти направляючі косинуси вектора (12,-15,-16).

32. Чи може вектор складати з координатними осями наступні кути: 1)

33. Вектор складає з координатними осями Оx та Oy кути Знайти його координати при умові, що | |=2.

34. Дано | |=11, | |= 23 та | - |=30. Знайти | + |.

35. Яку умову повинні задовольняти вектори і , щоб мали місце наступні відношення: 1) | + |=| - |; 2) | + |>| - |; 3) | + |<| - |.

36. У правильному п`ятикутнику ABCDE задані вектори, що співпадають з його сторонами: Побудувати вектори:

37. У паралелепіпеді задані вектори, що співпадають з його ребрами: . Побудувати кожний с наступних векторів:

38. Три сили прикладені до однієї точки і мають взаємно перпендикулярні напрями. Знайти величину їх рівнодійної , якщо відомо, що

39. Знайти, при яких значеннях α, β вектори колінеарні.

40. Дано точки А(-1,5,-10), В(5,-7,8), С(2,2,-7) та D(5,-4,2). Перевірити, що вектори колініарні; встановити, який з них довший за інший та у скільки разів, як вони напрямлені - в одну чи протилежні сторони.

41. Дано два вектори (2,-3,6) та (-1,2,-2), які прикладені до однієї точки. Знайти координати вектора , напрямленого по бісектрисі кута між векторами і , при умові, що | |=3 .

42. На площині дано три вектора (3,-2), (-2,1) та (7,-4). Знайти розклад кожного з цих трьох векторів, приймаючи за базис два інших.

43. Приймаючи за базис вектори , що співпадають зі сторонами трикутника АВС, знайти розклад векторів, що прикладені у вершинах трикутника і співпадають з його медіанами.

44. Дано три вектори Знайти розклад вектора (11,-6,5) по базису .

45.Дано чотири вектора (2,1,0), (1,-1,2), (2,2,-1) та (3,7,-7)

Знайти розклад кожного з цих векторів, приймаючи за базис три останні.

46. Знайти скалярний добуток векторів і , що утворюють кут φ у кожному з наступних випадків:

47. Знайти скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами: .

48. Вектори і взаємно перпендикулярні; вектор утворює з ними кути, рівні ; знаючи, що , знайти:

1)(3 -2 )( +3 ); 2) .

49. Довести справедливість тотожності та вияснити її геометричний зміст.

50. Дано три вектора , , , що задовольняють умову . Знаючи, що , знайти + + .

51. Дано, що . Визначити, при якому значенні α вектори +α , -α будуть взаємно перпендикулярні.

52. Знайти тупий кут, що утворений медіанами, проведеними з вершин гострих кутів рівнобедреного прямокутного трикутника.

53. Знайти геометричне місце кінців змінного вектора , якщо його початок знаходиться у даній точці А та вектор задовольняє умові =α, де - даний вектор, α - дане число.

54. Дано вектори (4,-2,-4), (6,-3,2). Знайти:

.

55. Знайти косинус кута, утвореного векторами та .

56. Знайти внутрішні кути трикутника А(1,2,1,), В(3,-1,7), С(7,4,-2), переконатися, що цей трикутник рівнобедений.

57. Вектор , колінеарний вектору (6;-8;-7,5), утворює гострий кут з віссю Оz. Знаючи, що , знайти його координати.

58. Знайти проекцію вектора на вісь, що складає з координатними осями Оx, Oz кути а з віссю Оy-гострий кут β.

59. Дано дві точки М(-5,7,-6) та N(7,-9,9). Знайти проекцію вектора (1,-3,1) на вісь вектора .

60. Знайти векторний добуток [ , ] в кожному з наступних випадків:

61. Дано: | |=10, | |=2 і =12. Знайти |[ , ]|.

62. Вектори і взаємно перпендикулярні. Знаючи, що обчислити:

1)[ ] ; 2)[(2 + )( +2 )] ; 3)[(3 + )( -3 )] .

63. Вектори , , і зв`язані співвідношеннями [ ]=[ ], [ ]=[ ]. Довести колінеарність векторів ( - ) і ( - ).

64. Дано вектори (3,-1,-2) та (1,2,-1). Знайти координати векторних добутків: 1)[ ]; 2)[(2 + ) ]; 3)[(2 - )(2 + )].

65. Дано точки А(2,-1,2), В(1,2,-1) та С(3,2,1). Знайти координати векторних добутків: [ ]; 2)[ ].

66. Дано точки А(1,2,0), В(3,0,-3) та С(5,2,6). Знайти площу трикутника АВС.

67. Дано вершини трикутника А(1,-1,2), В(5,-6,2) та С(1,3,-1). Обчислити довжину його висоти, що опущена з вершини В на сторону АС.

68. Знайти синус кута, утвореного векторами (2,-2,1) та (2,3,6).

69. Знайти вектор , знаючи, що він перпендикулярний векторам

(2,-3,1) і (1,-2,3) та задовольняє умову: .

70. Знайти векторні добутки:

якщо взаємно перпендикулярні орти, що утворюють праву трійку.

71. Довести, що векторний добуток підпорядковується таким законам:

- [ ]=-[ ] - альтернативний закон;

- λ[ ] = [λ ] = [ λ] = [ ]λ, де λ - скаляр, - асоціативний закон відносно скалярного множника.

72. Довести тотожність ( ) +[ ] = .

73. Сила (4,-3,-7) прикладена до точки А(1,6,5). Знайти момент цієї сили відносно початку координат.

74. Сила (2,-2,-3) прикладена до точки А(4,5,6). Знайти величину та направляючі косинуси моменту цієї сили відносно точки С(2,3,-3).

75. Визначити, якою є трійка , , (правою чи лівою), якщо

76. Обчислити мішаний добуток ( ):

77. Вектори , , утворюють праву трійку і взаємно перпендикулярні. Знаючи, що обчислити ( ).

78. Довести тотожність ( + )( + )( + )= 2( ).

79. Дано три вектора: (1,-1,3), (-2,2,1), (3,-2,5). Обчислити ( ).

80. Встановити, чи компланарні вектори , , , якщо:

1) (2,3,-1), (1,-1,3), (1,9,-1); 2) (3,-2,1), (2,1,2), (3,-1,-2);

3) (2,-1,2), (1,2,-3), (3,-4,7).

81. Довести, що чотири точки А(1,2,-1), В(0,1,5), С(-1,2,1) та D(2,1,3) лежать у одній площині.

82. Обчислити об`єм тетраедра, вершини якого знаходяться у точках А(2,-1,1), В(5,5,4), С(3,2,-1) та D(4,1,3).

83. Дано вершини тетраедра: А(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7) та

D(-5,-4,8). Знайти довжину його висоти, що опущена з вершини D.

84. Об`єм тетраедра V = 5, три його вершини знаходяться у точках А(2,1,-1), В(3,0,1), С(2,-1,3). Знайти координати четвертої вершини D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oy.

85. Дано вершини трикутника А(2,-1,-3), В(1,2,-4), С(3,-1,-2). Обчислити координати вектора , колінеарного його висоті, опущеної з вершини А на протилежну сторону, при умові, що утворює з віссю Oy тупий кут і що його модуль рівний 2 .

86. Дано вектори: (1,-2,3), (2,1,4), (-3,4,5). Знайти вектори: 3 ; 2 ; -3 ; + + ; 2 -3 +4 .

87. Знайти вектор , що колінеарний вектору (1,-2,2) та задовольняє умову = -18.

88. Дано одиничні вектори , , , що задовільняють умову

+ + = 0. Знайти + + .

89. Дано трикутник з вершинами А(4,3,-1), В(6,2,0), С(2,-1,2). Довести, що внутрішні кути при вершинах А та В рівні між собою.

90. Спростити вирази: 1)[(3 -4 )(2 +5 )],

2)[(5 -3 +2 )(4 +7 -6 )],

3)[ ].

91. Вектори , , заловільняють умову + + = 0. Довести, що [ ] = [ ] = [ ].

92. З`ясувати, чи компланарні вектори , , :

93. Знайти об`єм паралелепіпеда, побудованого на векторах

, , :

94. Знайти об`єм трикутної піраміди АВСD:

1) А(6,1,4), В(2,-2,-5), С(7,1,3), D(1,-3,7);

2) А(1,2,6), В(0,3,8), С(-5,-1,4), D(-3,2,-6).

5. Графічно-разрахункова задача №1 (з методичними рекомендаціями). Індивідуальне завдання.

Задача 1. В задачах 1.1-1.30 задані координати вершин піраміди ABCD в прямокутній декартовій системі координат.Знайти:

1)координати векторів і обчислити довжини цих векторів;

2)кут між векторами та в радіанах;

3)проекцію вектора на вектор ;

4)площу грані АВС;

5)об`єм піраміди ABCD та її висоту DН;

6)кут нахилу бічного ребра АD до площини основи (АВС);

7)кут нахилу бічної грані (АDС) до площини основи (АВС).

Всі обчислення виконати з точністю до двох десяткових знаків.

1.1 А(-4;6;1) В(β;4- β;1+ β) С(2;2;-3) D(0;4;3)

1.2 A(1;7;-3) В(4-β;2β;4+ β) С(-3;-1;0) D(-1;2;-1)

1.3 A(8;-1;3) В(3+β;1+β;3β) С(-4;0;5) D(0;2;3)

1.4 A(-5;7;2) В(-2-β;1+β;0) С(1;-3;0) D(-2;1;3)

1.5 A(2;6;-1) В(3+β;2+β;-3β) С(-4;0;0) D(1;0;2)

1.6 A(0;-1;-4) В(6-β;-3-β;2-β) С(2;0;-1) D(2;0;3)

1.7 A(2;-2;-4) В(0;1- β;4+ β) С(3;-3;1) D(-5;4;7)

1.8 A(9;3;-6) В(0;3+β;-5-β) С(-4;5;1) D(7;-3;8)

1.9 A(-7;4;1) В(-2-β;β;3+ β) С(0;-2;1) D(5;-1;-1)

1.10 A(-2;2;-1) В(4+β;0;3-β) С(-3;6;1) D(6;-3;7)

1.11 A(5;-1;7) В(-3-β;-2+β;0) С(-3;0;-5) D(6;2;3)

1.12 A(-4;4;-1) В(0;4- β;1+ β) С(-1;5;3) D(-1;-2;1)

1.13 A(5;-2;7) В(-4+β;2- β;0) С(-1;5;5) D(2;-1;8)

1.14 A(8;-6;1) В(0;-5-β;-1+ β) С(-4;3;1) D(-5;7;-2)

1.15 A(4;-3;1) В(-4-β;6+β;0) С(-2;2;1) D(9;-1;-2)

1.16 A(-5;1;-3) В(-4+β;0;3-β) С(-1;2;2) D(1;-1;1)

1.17 A(2;-4;2) В(-1-β;4-β;-5+β) С(-1;-5;1) D(5;1;6)

1.18 A(-1;5;5) В(-6+β;1- β;0) С(0;-1;3) D(-4;6;0)

1.19 A(-5;2;-3) В(-3+β;0;2+β) С(-1;-1;2) D(3;-2;3)

1.20 A(4;-7;1) В(6+β;5- β;-β) С(-1;2;-3) D(5;-6;8)

1.21 A(-1;6;2) В(-5β;4- β;1+ β) С(-1;0;1) D(2;-1;6)

1.22 A(7;7;5) В(-3+β;-5+β;0) С(-1;3;2) D(4;6;-3)

1.23 A(3;-5;1) В(-4-β;-3-β;2β) С(-4;0;5 D(-7;1;4)

1.24 A(7;5;1) В(-4β;0;-1-β) С(0;2;1) D(1;7;-1)

1.25 A(0;-1;-7) В(-3-β;-6+β;0) С(-1;0;1) D(0;5;7)

1.26 A(3;7;-2) В(-4-β;-3β;2+β) С(-2;2;3) D(4;-3;4)

1.27 A(9;0;-8) В(-5-β;-3β;-1-β) С(0;-3;-2) D(3;-4;8)

1.28 A(6;-4;1) В(β;-4+β;-3β) С(-3;-1;2) D(3;-2;-1)

1.29 A(4;9;-2) В(-6β;4-β;1+β) С(-3;4;2) D(0;7;7)

1.30 A(5;-1;3) В(4β;4+β;-3-β) С(2;2;0) D(5;10;4)