Розв’язання 2

Якщо одиничні взаємно перпендикулярні вектори і прийняти за координатні орти прямокутної декартової системи координат Oxy, то у цій системі координат вектори і будуть мати наступні координати: =(3,2), =(1,5).

Тоді:

Відповідь:

9. Початок вектора знаходиться в точці М(4,-3,5), кінець - в точці N(6,-2,3). Знайти координати вектора , його довжину та направляючі косинуси.

Розв`язання. Позначимо координати вектора через X, Y, Z. Знаходимо: , , , тобто (2,1,-2).

Довжина вектора: .

Знаходимо направляючі косинуси:

Відповідь: (2,1,-2). = 3

10. Дано вектори (1,1,-1), (2,-1,3), (1,-2,1). Розкласти вектор (12,-9,11) по векторам , , .

Розв`зання: Нехай - деякі коефіцієнти. Так як рівні вектори мають рівні координати, а координати лінійної комбінації векторів рівні відповідним лінійним комбінаціям однойменних координат, то

12 = α + 2β + γ,

-9 = α - β - 2γ, Із системи знайдемо: α=2, β=3, γ=4.

11 = -α +3β + γ.

Отже, =2 +3 +4 .

Відповідь: =2 +3 +4 .

11. Дано чотирикутник з вершинами А(7,-8,4), В(7,4,-2), С(-5,10,-2), D(-5,-2,4). Довести, що його діагоналі АС і ВD взаємно перпендикулярні.

Розв`язання. Для доведення достатньо знайти координати векторів і , виразити їх скалярний добуток в координатах та переконатися у виконанні рівності =0 чи . Знаходимо: =(-12,18,-6), =(-12,-6,6).

Так як =(-12)(-12)+18(-6)+(-6)6=144-108-36=0, то ┴ , що і треба було довести.

12. Який кут утворюють одиничні вектори та , якщо відомо, що вектори =3 +6 та =10 -8 взаємно перпендикулярні?

Розв`язання. Оскільки ┴ , то =0. Знайдемо вираз для скалярного добутку, користуючись його властивостями:

=(3 +6 )(10 - 8 )= .

За умовою , тому Далі, за означенням шуканий кут між векторами та . Звідси, Відповідь:

13. Дано трикутник з вершинами А(-1,1,5), В(3,-4,5), С(-1,5,2). Знайти довжину висоти, опущеної з вершини В на сторону АС.

Розв`язання. Щоб розв`язати задачу, достатньо знайти площу трикутника АВС та довжину сторони АС. Площа трикутника АВС рівна половині площі паралелограма, що побудований на векторах та . Знайдемо координати цих векторів та координати їх векторного добутку: =(4,-5,0), =(0,4,-3),

[ ]= . Оскільки |[ ]|=S, то знаходимо площу паралелограма: S=|[ ]|= Так як

звідки .

Відповідь: .

14. Сила прикладена до точки М(3,4,-2). Знайти величину та направляючі косинуси моменту цієї сили відносно початку координат.

Розв`язання. Якщо , то [ ] - момент сили F відносно точки О. Застосовуючи формули отримаємо [ ]=(20,-4,22). Отже, [ ]= ;

Відповідь: F=30.

15. Дано три вектори , , . Знайти мішаний добуток (( + )( + )( + )).

Розв`язання. Скориставшись властивостями мішаного добутку, отримаємо:

(( + )( + )( + ))=(( + )( + ) )+(( + )( + ) )=

=(( + ) )+(( + ) )+(( + ) )+(( + ) )=

=( )+( )+( )+( )+( )+( )+( )+( ).

Так як мішаний добуток векторів, серед яких є рівні дорівнює нулю, то в отриманій сумі відмінними від нуля є члени ( )=( ), що повторюється двічі. Отже, (( + )( + )( + ))=2( ).

Відповідь: ( + )( + )( + )=2( ).

16. Довести, що точки А(-1,2,1), В(-3,1,2), С(3,-2,2), D(3,-4,3) належать одній площині.

Розв`язання. Розглянемо три вектори,початок кожного з яких знаходиться у точці А, а кінець - відповідно в точках В, С, D:

. Знайдемо їх мішаний добуток: . Виконується умова компланарності векторів Отже, точки А, В, С, D належать одній площині.