Классическое понятие устойчивости по Ляпунову

Устойчивость по Ляпунову определяется для случая начального отклонения фазовой координаты от заданного устойчивого состояния.

В качестве опорного устойчивого состояния выберем нулевое значение фазовой координаты:

Линейная динамическая система называется устойчивой, если для малого значения можно указать такое значение , при котором выполняются следующие неравенства:

, то

Динамическая система называется асимптотически устойчивой, если на бесконечном интервале времени выполняется условие:

Для технических систем вводятся понятия устойчивости в малом, устойчивости в большом, устойчивости на интервале движения и устойчивости в целом.

Динамическая система называется устойчивой в малом, если можно указать такую величину начального отклонения, при котором для любого меньшего отклонения выполняются показатели устойчивости по Ляпунову.

Если

В случае, если , то есть при любом начальном отклонении выполняются неравенства Ляпунова, то динамическая система называется устойчивой в большом.

Если неравенства Ляпунова справедливы для ограниченного интервала времени, то есть при

то система называется устойчивой на интервале.

Динамическая система будет устойчивой на неограниченном интервале, если неравенства Ляпунова выполняются при τ→∞.

Система будет устойчива в целом, если выполняются следующие неравенства:

при