Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

.

Будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих коней. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

где многочлен, а правильная дробь.

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Определение. Правильные рациональные дроби вида:

1.

2.

3.

4. называются простейшими дробями типов.

Проведем интегрирование простейших дробей:

1.

2.

3.

4.

;

Отдельно покажем вычисление .

.

В правой части содержится интеграл того же типа, что , с той лишь разницей, что показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ; таким образом, мы выразили через . Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:

Подставляя затем всюду вместо и значения, получим выражение интеграла через и заданные числа А, В, p, q.