Действия над комплексными числами

Пусть даны два комплексных числа: в алгебраической форме и или в тригонометрической форме и

1) ;

2) ;

;

3) ;

;

4) ;

5) , ;

6) , т.к. формула Эйлера.

Из перечисленных действии докажем, что . Пусть или . Так как у равных комплексных чисел модули равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное , то ; . Отсюда находим: . Подставив найденные значения в первоначальное равенство, получим:

.

Придавая значения , получим различных значений корня. Для значений аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное , и, следовательно (учитывая, что и имеют своим периодом ), получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.