Уравнение переноса. Вязкость газов

Интуитивные представления о вязкости жидкости каждый человек вырабатывает на основании повседневного опыта. Например, при использовании растительного масла, молока и других жидкостей. Вязкость или внутреннее трение, свойство жидкостей, характеризующее сопротивление действию внешних сил, вызывающих их течение. Вязкость проявляется в том, что при сдвиге соседних слоёв среды относительно друг друга возникает сила противодействия – напряжение сдвига. Прочувствовать это можно наблюдая за истечением воды или масла растительного.

Рассмотрение предыдущих параграфов данной главы даёт основания утверждать, что такое свойство должно быть характерно и для газов. Это следует хотя бы из того, что газоподобные системы, представленные сами себе, в конце концов, переходят в устойчивое состояние теплового равновесия. Если при этом в газе имеются отдельные потоки, обладающие разной локальной скоростью относительно друг друга, то будет возникать препятствующая движению сила сопротивления.

Первым этапом приближения к тепловому равновесию газа является обмен импульсом между «быстрыми» и «медленными» молекулами. Что это значит? В газовой среде в разных точках её пространства возможно движение отдельных струй газа, обладающих разной дрейфовой скоростью. Другими словами, в объёме пространства среды есть отдельные струи газа, движущиеся вдоль оси Х с некоторой локальной скоростью; будем обозначать её u_х(z) и эта скорость «чувствительна» к положению в потоке. На рис. 7.7 представлены потоки слоёв с различной дрейфовой скоростью u_х(z) как выше, так и ниже выделенной площадки D S.

Не будем забывать, мы интересуемся только той частью переноса импульса, которая связана со столкновением молекул, но не с движением среды как целого. Итак, участвуя в перемещении элемента объёма газа как целого вдоль оси Х, молекулы газа участвуют и в хаотическом движении. Хаотические столкновения молекул (см. рис. 7.1) сопровождаются их перемещением из одного потока в другой, в результате чего дрейфовые скорости в двух соседних потоках постепенно уравниваются. Почему?

Рис. 7.7. Перенос импульса молекул через площадку DS

Вследствие обмена молекулами между струями (потоками), находящимися на расстоянии длины свободного пробега l выше и ниже слоя с координатой z = z ₀, происходит перенос импульса элемента объёма газа; молекулы «медленно» движущегося слоя проникают в «быстро» движущийся слой и наоборот; между молекулами происходит обмен импульсами. На опыте удобнее следить за дрейфовой (локальной) скоростью элемента объёма газа u_х, следовательно, в уравнении (7.13) переносимой физической характеристикой j является импульс частицы, т.е. j º m × u_i (z). Осознав переносимую физическую величину j в уравнении (7.13), перейдём к его преобразованию.

Поскольку каждая молекула испытывает последнее столкновение на расстоянии длины свободного пробега l (рис. 7.7) импульс, переносимый через площадку D S за время D t, запишется: D(N × j) º D(N × m×u (z)) = = D(N × р_i); здесь m –, как догадался пытливый читатель, масса молекулы, а р_i – её импульс в соответствующем слое. Суммарное изменение импульса запишется: D р = D(N × р_i).

Каждый процесс переноса импульса связан с отклонением скорости частицы от её постоянного равновесного значения, т. е. определяется его темпом. И тогда в правой части уравнения (7.13) темп изменения импульса может быть представлен в виде: ; здесь мы воспользовались тем, что дрейфовая скорость частиц в потоке одинакова. И тогда перенос импульса D р между струями газа (рис. 7.7) запишется:

D р = – × .

Поскольку скорость u (7.5), длина свободного пробега l (7.10), m – масса молекулы газа являются характеристиками сортности газа, а n – концентрация частиц в единице объёма (7.8), то с учётом того, что m × n = = r – плотности газа, уравнение переноса импульса принимает вид:

D р = – × r × .

Из второго закона Ньютона, формула (2.2), настойчивый читатель после преобразований приходит к формуле для силы вязкого трения вида:

F _{вяз. тр.} = h × ×D S; (7.18)

здесь h – коэффициент вязкости, равный h = , а F _{вяз. тр.} = , D S – величина поверхности, по которой действует сила F _{вяз. тр.}.

Если переписать формулу (7.9) в виде: , то для двух различных состояний газа следует, что . Ранее [3, с. 83] показано, что изменение энтропии

. Видоизменим эту формулу, учитывая, что сумма логарифмов равна логарифму произведений, приходим к уравнению вида

. Если учесть, что

, приходим к выражению , или

.

Заменим отношение объёмов в выражении изменения энтропии на отношение чисел столкновений (с. 113) , и тогда изменение энтропии идеального газа через число столкновений примет вид:

. (7.19)

Таким образом, явления переноса связаны с изменением энтропии. Вместе с тем, эти процессы могут быть не связаны с теплообменом между системой и окружающей средой и всегда ведут к увеличению энтропии. Из уравнения (7.19) также следует, увеличение энтропии может сопровождаться уменьшением числа столкновений между молекулами.