Распределение молекул газа по скоростям

В предыдущей главе при рассмотрении движения в сплошных средах, использовалось понятие «квазичастицы». Однако введённое понятие «квазичастицы» внешне значительно отличалось от реальных квазичастиц. Их правильнее называть существенно коллективными или многочастичными «квазичастицами». Физики-теоретики их назвали нормальными модами (распространяющиеся колебания). В то же время в природе существуют макроскопические объекты, между частицами которых взаимодействие не является интенсивным – это газы и газоподобные системы. Благодаря этому свойства таких объектов в тепловом равновесии, или вблизи него, могут быть объяснены на основе описания движения одиночных «квазичастиц» индивидуального типа.

Продолжим изучать свойства идеального газа [3, с. 50]. Любой макроскопический объект, и газ не исключение, содержащий огромное количество частиц N ~ N _А >> 1 и находящийся в фиксированных внешних условиях, независимо от начального состояния с течением времени самопроизвольно переходит в определённое конечное состояние, называемое равновесным. Это состояние единственно (при заданных внешних условиях и не «чувствительно» к способу перехода в это состояние); оно устойчиво; наблюдается «забывание» индивидуальных начальных условий отдельных частиц вследствие их хаотических столкновений между собой. Равновесное состояние идеального газа характеризуется не только параметрами V, P, и T, но и распределением молекул по скоростям; в равновесном состоянии устанавливаются вполне определённые соотношения между числами молекул, имеющими различные скорости. При теоретическом выводе исходят из того, что:

в газе не существует молекул, имеющих в точности одинаковые скорости;

число молекул dN, скорости которых находятся в интервале между u и u + d u, прямо пропорционально общему числу молекул N, ширине интервала d u и зависит от величины скорости u.

Зависимость dN от скорости представим в виде множителя f (u) и тогда dN = N × f (u)× d u. Функцию , показывающую относительное число молекул, приходящихся на единицу интервала скоростей, называют функцией распределения молекул газа по скоростям. Её аналити

Рис. 7.1. (слева) Молекулы в объёме D V и векторы их скоростей. (справа) Сферический слой d u в пространстве скоростей.

ческую зависимость от u найдём из рис. 7.1 (справа). Действительно, число молекул dN в объёме dV (рис. 7.1, слева), модули скоростей которых принадлежат интервалу от u до u + d u (рис. 7.1, справа), можно выразить:

, (7.1)

где 4pu² d u – объём сферического слоя скоростей (рис. 7.1 справа); экспоненциальный множитель Больцмана [3, с. 58] определяет вероятность приобретения частицей в тепловом поле скорости u, а C – постоянная, которая может быть определена из условия нормировки. Как следует из первой части равенства уравнения (7.1) . Последнее равенство даёт вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах интервала d u, а это означает, что интеграл:

. (7.2)

Вычисления дают для С значение . Таким образом, функция распределения f (u) принимает вид:

. (7.3)

Уравнение вида (7.3) называют функцией Максвелла. Она зависит от сортности газа (массы молекулы m) и параметра состояния – температуры Т. Поэтому сама функция Максвелла и описываемое ею распределение молекул по скоростям изменяются. На рис. 7.2 приведён график функции, который начинается с нуля (из-за u²) и, достигнув

Рис. 7.2. График функции Максвелла. Пояснения в тексте

максимума, асимптотически (с бесконечной ветвью, неограниченно) стремится к нулю. Площадь, охватываемая кривой f (u), в соответствии с (7.2), равна единице. Скорость, соответствующую максимальному значению функции u_вер, принято называть наиболее вероятной. Если выделить элемент объёма d u в различных областях кривой (рис.7.2), то наибольшим dN @ N × d u будет интервал, расположенный в окрестности максимума (настойчивый читатель вынужден самостоятельно обозначить интервал и убедиться в этом). Кроме того, поскольку функциональная зависимость (7.3) проверена экспериментально, вдумчивый читатель, решив задачу по нахождению максимума f (u), найдёт значение наиболее вероятной скорости, определяемое сортностью газа (m) и температурой Т:

, (7.4)

проделав преобразования, читатель приходит к выражению u_вер. = .

Зная распределение молекул по скоростям, можно найти выражение для средней и средней квадратичной скорости:

; ; u_вер. = . (7.5)

Результат для средней квадратичной скорости согласуется с ранее полученным в [3, с. 55] выражением. Чтобы в этом убедиться, нужно заменить Е ₁ через .

Расположение скоростей на кривой функции Максвелла представлено на рис. 7.3. Сопоставляя аналитические выражения (7.5) скоростей u_вер., , , можно заметить, они одинаковым образом зависят от температуры и сортности газа.

Исследуем изменения кривой распределения в зависимости от температуры газа и массы молекулы. Если пытливый читатель в выражение (7.3) подставит формулу скорости u_вер. из (7.5), то после преобразований получает равенство вида:

. (7.6)

Рис. 7.3. Пояснения в тексте.

Из него следует: при увеличении температуры (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо и становится ниже, но при этом площадь, охватываемая кривой, остаётся неизменной (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Пояснения в тексте.

В заключение параграфа следует подчеркнуть. Распределение Максвелла справедливо только для газа, находящегося в равновесном состоянии; число частиц N должно быть достаточно велико, поскольку закон Максвелла статистический, а законы статистики тем точнее, чем больше число одинаковых объектов.