Интерференция волн. Стоячие волны

При изучении волновых процессов, как правило, ставится задача: дано тело определённой формы и размеров, совершающее колебания в некоторой среде, свойства которой известны; заданы амплитуды, фазы и направления колебаний всех точек тела. Требуется определить форму и расположение фронта волны (или волновой поверхности) в среде в каждый интересующей нас момент времени, а также амплитуды колебаний в различных точках этих поверхностей.

Для этого сначала рассматривается взаимодействие колеблющегося тела со средой и определяется фронт волны в непосредственной близости от этого тела. Затем с помощью принципа Гюйгенса и принципа суперпозиции определяется дальнейшее распространение волны в среде.

Из принципа Гюйгенса следует – все точки волнового фронта, заданного в некоторый момент времени t _о, можно рассматривать как самостоятельные источники волны, начавшие излучать в момент t _о. Однако принцип Гюйгенса не определяет амплитуды колебаний в различных точках, куда доходит волна (рис. 6.8). Для этого используется принцип суперпозиции, из которого следует, амплитуду колебаний в некоторой точке можно найти, сложив все колебания, вызванные в этой точке. При этом предполагается, что колебания в среде линейные и в точке наблюдения суммарное отклонение у от состояния равновесия равно сумме отклонений, вызванных каждой волной в отдельности т. е. .

Рис. 6.8. Наложение волн, исходящих из отверстий S1 и S2

Выше предполагалось, что волны, распространяющиеся в среде, являются плоскими и гармоническими, т. е. в каждой точке среды колеблющаяся величина изменяется со временем по синусоидальному (косинусоидальному) закону, а в каждый определённый момент времени эта величина распределена вдоль линии распространения по тому же закону. Пусть фазы колебаний источников S ₁ и S ₂ (рис. 6.8) равны соответственно (w× t +a₁) и (w× t + a₂). Тогда колебание в точке А на расстоянии r ₁ и r ₂ от источников волн будет равно сумме колебаний:

,

;

здесь k волновое число, равное , а у_о – амплитуда колебаний источников S ₁ и S ₂; постоянные a₁ и a₂, отражающие начальные фазы источников колебаний, приняты равными нулю. И тогда суммарное значение колеблющейся величины, согласно принципу суперпозиции, будет равно удвоенному значению амплитуды колебаний, умноженному на косинус полуразности и на синус полусуммы (см. тригонометрию, формула для суммы синусов), т. е.:

. (6.19)

Данное уравнение показывает, что в результате интерференции (наложения) двух (или более) волн в каждой точке среды (с фиксированной координатой х) результирующее движение представляет собой гармоническое колебание с той же частотой w, но с амплитудой, определяемой выражением вида:

. (6.20)

Рассмотрим важный случай интерференции, наблюдаемый при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Стоячие упругие волны возникают в сплошных средах, например, в твёрдом теле при температурах Т > 0. Падающая на границу среды упругая волна и бегущая ей навстречу отражённая, интерферируют (налагаются друг на друга) и дают стоячую волну (параграф 6.1).

Уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях, запишутся:

,

.

Складывая уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы синусов, приходим к выражению вида (6.19):

. (6.19а)

Это уравнение является уравнением стоячей волны. Из него следует, в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн. Однако амплитуда результирующего колебания «чувствительна» к пространственному положению выбранной точки среды и определяется уравнение вида (6.20):

. (6.21)

Из уравнения (6.21) следует, в точках среды, где

, (6.22)

амплитуда колебания достигает максимального значения, равного 2× а. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Условие (6.22) позволяет определить значения координат пучностей:

(6.23)

В точках среды, где

,

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки принято называть узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов определяются выражением:

. (6.24)

Итак, уравнение стоячей волны (6.19а) не даёт волнового движения, но указывает на наличие колебаний с амплитудой (6.21), разной в разных точках сплошной среды. Следовательно, стоячая волна не есть волна, поскольку у неё нет направления распространения. В предыдущем параграфе (6.3) мы убедились в том, что бегущая волна переносит энергию от точки к точке, в стоячей волне никакой передачи энергии от точки к точке нет. Это название, «стоячая волна», характеризует колебательное состояние среды.

Рис. 6.9. Колебательное состояние в стоячей волне для нескольких последующих моментов времени

На рис. 6.9 представлены колебательные состояния в стоячей волне для нескольких последующих моментов времени. Из рисунка следует, название вполне оправдано. В каждое мгновение видна волна. При этом волна стоит на месте. Если делать мгновенные фотографии одну за другой, то точки пересечения волной оси абсцисс – узлы – остаются на одном и том же месте. Волна стоит. Изменения в мгновенных снимках будут состоять в изменении величины смещений. Наступит момент, когда все точки среды будут неподвижными (t = Т /2). По прохождении этого момента точки, отклонявшиеся кверху, будут идти вниз, и наоборот. Настойчивый читатель, сравнив рисунки при t = 3 Т /8 и t = 5 Т /8, убедится в этом.

Ранее мы убедились в том, что в стоячей волне передачи энергии нет. Как же тогда описать в терминах энергии процессы, происходящие в этом своеобразном движении? Очевидно, что энергия стоячей волны есть величина постоянная.

В тот момент, когда все точки проходят положение равновесия, вся энергия точек, захваченных колебанием, является кинетической. Напротив, в положении максимального отклонения точек от положения равновесия энергия всех точек среды является потенциальной.