Изобразительные свойства орто-гональных проекуций поверхности гиперболического параболоида

(рис.15.31,15.32)

Определитель поверхности гипер-болического параболоида представля-ет собой геометрическую конструкцию, состоящую из двух скрещивающихся прямолинейных направляющих m и n и одной образующей, которая в любом положении параллельна плоскости па-раллелизма a (рис. 15.31):

ф = [ l ´ m, n ] || a.

Графическая модель этого опреде-лителя однозначно задаёт поверхность гиперболического параболоида, так как

обеспечивает возможность решения любой позиционной задачи на принад-лежность точек и линий к этой поверх-

ности.

Перезадание проекций определи-теля поверхности гипара проекциями их очерков выполняется графическим мо-делированием последовательных поло-жений образующей. Её горизонтальные проекции параллельны a₁, а положения фронтальных проекций определяется фронтальными проекциями точек её пе-ресечения с направляющими m и n.

Построив фронтальные проекции образующих, следует под лекало про-вести кривую линию, которая их огиба-ет. Эта линия входит в состав очерка фронтальной проекции гиперболическо-го параболоида и является параболой.

Так как поверхность гиперболиче-ского параболоида является полностью прямолинейчатой, то крайние положе-ния образующей и направляющие могут меняться своими «ролями». Поэтому она может иметь два семейства соот-ветственно пересекающихся образую-щих. Как бы близко не располагались пары образующих этих семейств, пере-секаясь, они образуют косой элемент этой поверхности, не совмещаемый с плоскостью. Поэтому всю поверхность называют косой плоскостью. Среди по-верхностей Каталана это единственная алгебраическая поверхность второго порядка, так как прямые линии пересе-кает её в двух точках, а плоскости – по кривым линиям второго порядка – пара-болам и гиперболам. Отсюда следует, что эти линии также могут образовы-вать линейный каркас этой поверхнос-ти (рис.15. 33, 15. 34)

Рис.15.34. Линейный каркас поверхности

гиперболического параболоида из парабол

Рис. 15.35. Геометрическая модель

поверхности косого цилиндра о 3-х направляющих

Рис.15.36. Геометрическая модель по-верхности дважды косого цилиндроида

Рис.15.37. Геометрическая модель

поверхности дважды косого коноида

Рис.15.38. Геометрическая модель

поверхности однополостного эллиптического гиперболоида

15.1.8.. Конструктивные свойства косых поверхностей о трёх направляющих

Общие положения

Определение 15.9. Системы последовательных положений прямолинейной образующей l, пе-ресекающей в процессе движения три направляющие m,n,k, назы-ваются косыми поверхностями о трёх направляющих

Ф [ l ´ (m, n, k)].

Так как три направляющие линии

могут быть различного вида, воз-можны различные виды образу-емых ими поверхностей.

1. Если все направляющие ли-нии кривые, то образуемая пове-рхность называется косым цили-ндромо 3-хнаправляющих (рис. 15. 35).При этом очевидно, что ес-ли все три направляющие – плос-кие кривые, то они не должны быть комланарными, т.е., лежать в од-

ной плоскости.

. 2.Если две направляющие ли-нии – кривые, а третья – прямая, то образуемая поверхность назы-вается дважды косым цилиндро-идом (рис.15. 36).

3. Если две направляющие ли-нии - прямые, а третья – кривая, то образуемая поверхность на-зывается д важды косым конои-дом (рис.15. 37)

4. Если все три направляющие линии – скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, то об-разуемая поверхность называется од -нополостным эллиптическим гипербо-лоидом (рис. 15. 38).

5. Если две направляющие – глад-кие плоские кривые и расположены в параллельных плоскостях, а прямоли-нейная направляющая параллельна этим плоскостям, то образуемая повер--хность называется косым клином. (рис. 15. 39).

6. Если две направляющие – кон-груэнтные окружности, плоскости кри-визны которых параллельны, а направ-

ляющая прямая перпендикулярна к

этим плоскостям и проходит через се-редину отрезка, соединяющего центры

окружностей, то образуемая поверхно-

сть называется косым переходом (рис. 15.40).

Рис.15.39. Геометрическая модель поверхности косого клина

Рис.15.40. Геометрическая модель поверхности косого перехода

15.1.9. Изобразительные свойстваортогональных проекций косых поверхностей о 3-х направляющих

Общие замечания

Для того, чтобы геометрически и графически правильно заполнять кар-тинное пространство ортогональными проекциями косых прямолинейчатых поверхностей о трёх направляющих, не-обходимо, учитывая их конструктивные особенности, в целом следовать общим замечаниям к п.15. 3. 7.

Первое из них требует однознач-ного представления о геометрической структуре поверхности, подлежащей изображению. В нашем случае её зада-ют три произвольного вида некомпла-нарные направляющие линии, любая пара которых своими точками опреде-ляет конгруэнцию прямых линий, запол-няющих некоторую часть пространст-ва, из которой третья направляющая, пересекаясь с некоторыми из них, вы-деляет искомую поверхность.

Отсюда следует, что для графичес-кого моделирования последовательных

положений образующей l, которая пере-

Рис.15. 41. Графическая модель

определителя поверхности косого цилиндра о трёх направляющих

Рис.15.42. Графическая модель

поверхности косого цилиндра о трёх

направляющих

Рис.15.43. Графическая модель по--верхности дважды косого цилиндроида

секает три направляющие, необходи-

мо достаточное число раз решать пози-ционные задачи на определение точек встречи третьей направляющей с пря-молинейчатыми поверхностями, кото-рые последовательно задаются отдель-ными точками первой направляющей и всеми точками второй.

В состав графических моделей оп-ределителей этих поверхностей долж-ны входить ортогональные проекции 3-х направляющих и одной образующей.