Задания для самостоятельного выполнения. Провести исследование точности асимптотической формулы Пуассона или Муавра - Лапласа

Задание 1.

Провести исследование точности асимптотической формулы Пуассона или Муавра - Лапласа. Для этого выберите, исходя из условий задачи, необходимую формулу, проведите вычисления по точной формуле и по приближенной. Проведите вычисления для n ₁ и р ₁.

Варианты:

1) Провайдер обслуживает п =1000 абонентов сети Интернет. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна р =0.003. Найти вероятность того, что в течение часа боле k =3 абонентов попытаются войти в сеть. (n ₁=10 и р ₁=0.3).

2) Провайдер обслуживает п =1700 абонентов сети Интернет. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна р =0.0023. Найти вероятность того, что в течение часа боле k =6 абонентов попытаются войти в сеть. (n ₁=17 и р ₁=0.23).

3) Вероятность того, что произвольно выбранный абонент сети Интернет является студентом, равна р =0.41. Найти вероятность того, что среди п =10000 абонентов некоторого провайдера студентов не менее k ₁=4000 и не более k ₂=6000. (n ₁=1000, р ₁=0.35, k ₁₁=400, k ₁₂=600).

4) Вероятность того, что произвольно выбранный абонент сети Интернет является студентом, равна р =0.46. Найти вероятность того, что среди п =14000 абонентов некоторого провайдера студентов не менее k ₁=4400 и не более k ₂=6400. (n ₁=1400, р ₁=0.85, k ₁₁=440, k ₁₂=640).

5) Магазин продает в течение одного дня n =2000 коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что коробка с сюрпризом, равна р=0.002. Найти вероятность того, что в течение одного дня продано более k =6 коробок с сюрпризом. (n ₁=20 и р ₁=0.2).

6) Магазин продает в течение одного дня n =2400 коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что коробка с сюрпризом, равна р=0.0016. Найти вероятность того, что в течение одного дня продано более k =8 коробок с сюрпризом. (n ₁=24 и р ₁=0.16).

7) Банк посещают в течение дня n =100 человек. Вероятность того, что человек снимет деньги со счета, равна р = 0.48. Найти вероятность того, что в течение дня деньги со счета снимут k =50 человек. (n ₁=10 и р ₁=0.048).

8) Банк посещают в течение дня n =200 человек. Вероятность того, что человек снимет деньги со счета, равна р = 0.55. Найти вероятность того, что в течение дня деньги со счета снимут k =100 человек. (n ₁=20 и р ₁=0.055).

9) Вероятность того, что человек, посетивший магазин, купит что-либо, равна р =0.67. Найти вероятность того, что среди n =22000 посетителей магазина покупателей окажется не менее k ₁=6200 и не более k ₂=8200. (n ₁=2200, р ₁=0.75, k ₁₁=620, k ₁₂=820).

10) Вероятность того, что человек, посетивший магазин, купит что-либо, равна р =0.4. Найти вероятность того, что среди n =19000 посетителей магазина покупателей окажется не менее k ₁=4900 и не более k ₂=6900. (n ₁=1900, р ₁=0.35, k ₁₁=490, k ₁₂=690).

Задание 2.

Решить задачу по точной формуле Бернулли и с помощью подходящей приближенной формулы.

Варианты:

1) В роддоме за месяц рождается 600 детей. Найдите вероятность того, что среди этих детей не более 300 мальчиков. Вероятность рождения мальчика р =0.51.

2) Вероятность поражения мишени при одном выстреле р =0.8. Найти вероятность того, что при 1000 выстрелах мишень будет поражена ровно 850 раз.

3) Монета брошена 5000 раз. Найти вероятность того, что герб выпал ровно 2500 раз.

4) Игральная кость брошена 2000 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет не более 300 раз.

5) Игральная кость брошена 1000 раз. Найти вероятность того, что пятерка выпадет не менее 100 раз.

6) Монета брошена 600 раз. Найти вероятность того, что «орел» выпадет не менее 290 и не более 310 раз.

7) Вероятность появления события в каждом из 800 испытаний составляет р =0.7. Найти вероятность того, что событие наступит в большинстве случаев.

8) Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна р =0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не более пяти бракованных книг.

9) Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути р =0.002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено более 15 изделий.

10) Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность выхода из строя любого элемента в течение времени Т равна 0.001. Найти вероятность того, что за время Т откажут не более 6 элементов.

Задание 3.

Найти необходимое число испытаний в заданных условиях, чтобы относительная частота появления события не превысила заданного числа ε.

Варианты:

1) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.9 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.02. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.016).

2) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.91 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.03. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.05).

3) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.92 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.04. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.1).

4) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.93 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.015. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.02).

5) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.94 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.05. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.04).

6) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.95 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.023. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.056).

7) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.96 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.06. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.012).

8) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.97 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.025. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.06).

9) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.98 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.08. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.3).

10) Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β =0.99 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной вероятности не более, чем на ε =0.039. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р =0.08).