Рівняння деяких ліній у полярних координатах

Розглянемо приклади деяких ліній, заданих своїми рівняннями в полярній системі координат. При цьому рівняння називатимемо рівнянням лінії , якщо його задовольняють ті і тільки ті пари чисел , які визначають точки на лінії .

Приклад 1. – рівняння кола з центром у полюсі , радіус якого (рис. 6).

Приклад 2. – промінь із початком у полюсі , який утворює з полярною віссю кут – у звичайній полярній системі координат, або пряма, яка містить даний промінь – в узагальненій полярній системі координат.

Приклад 3. – коло з центром на полярній осі, яке проходить через полюс і має діаметр (рис. 7). Для доведення даного твердження достатньо перейти до прямокутних декартових координат або використати рисунок 7, з якого видно, що точка належить колу тоді і тільки тоді, коли виконується рівність .

Приклад 4. – пряма, яка проходить на відстані від полюса (рис. 8). Тут – полярний кут точки . Доведення даного факту випливає з того, що для довільної точки прямої виконується рівність .

Приклад 5. – так звана спіраль Архімеда (рис. 9). Її описує точка , яка, знаходячись на промені , рівномірно віддаляється від точки при рівномірному обертанні променя. Ця властивість використовується в техніці при створенні механізмів, які перетворюють рівномірний обертальний рух у рівномірно поступальний. Кожний наступний виток спіралі віддалений від полюса на дальше, ніж попередній.

Рекомендуємо самостійно дослідити питання, як проходить спіраль Архімеда ще у трьох випадках, коли ; та , використовуючи узагальнені полярні координати.

Приклад 6. Побудуємо лінію, яка у прямокутній декартовій системі координат задана рівнянням . Очевидно, що це лінія десятого порядку. Для її побудови перейдемо до полярних координат.

Підставляючи у задану рівність співвідношення , після очевидних перетворень дістаємо

.

Використавши двічі тотожність , отримаємо рівняння лінії в полярних координатах у виді

.

Для зображення лінії зауважимо, всі її точки розташовані всередині кола, радіус якого дорівнює 1. Крім цього, оскільки функція періодична з періодом , то її графік достатньо побудувати на проміжку, який має довжину періоду, наприклад, на проміжку , а потім періодично повторити. При зміні полярного кута від 0 до полярний радіус зростає від 0 до 1. Якщо зростає від до , то спадає від 1 до 0. Наведені міркування дозволяють виконати зображення лінії у вигляді восьмипелюсткової троянди (рис. 10).

Рекомендуємо прослідкувати траєкторію руху точки на лінії при зміні від 0 до у випадку, коли лінія задається рівнянням , а координати вважаються узагальненими полярними.