Суммирование решетчатых функций

Рассмотрим теперь операцию, которая является обратной по отношению к операции взятия конечной разности. Пусть решетчатая функция определена при положительных значениях аргумента n=0,1,2… Требуется найти такую решетчатую функцию F(n), для которой функция является первой разностью.

Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе обычных функций.

Искомая функция имеет вид

.

Действительно,

Функцию F (n) называют первообразной для решетчатой функции .

Если F (n) является первообразной для , то и функция F(n)+С так же является первообразной для .

Если решетчатая функция определена при всех целочисленных значениях аргумента , то для определения первообразной необходимо дополнительно потребовать, чтобы при каждом конечном n сходился ряд

.

При этом условии первообразная определяется выражением

.

И общий вид первообразной для данной решетчатой функции определяется формулой

.

Значение постоянной С можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента n=N.

.

Откуда,

.

для любого n>N.

Эта формула является аналогом формулы Ньютона – Лейбница, а выражение стоящее справа иногда называют определенной суммой.

Эту формулу можно преобразовать:

Учитывая, что можно записать и так.

, а

при N=0 получим

.

Пример. Для найти сумму F (n).

по формуле суммы членов геометрической прогрессии.