Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Дискретное преобразование Лапласа определяется формулой
(11.12)
где - комплексная переменная,
называется изображением,
- решетчатая функция.
Дискретное преобразование Лапласа также называют D - преобразованием и обозначают , т.е.
.
Наряду с D – преобразованием применяется так называемое Z – преобразование.
Z – преобразование определяется формулой (1) в которую вводится новая переменная
.
(11.13)
Z – преобразование обозначают так:
.
Если известно изображение некоторой решетчатой функции, то соответствующее изображение может быть найдено с помощью замены комплексной переменной q по формуле
, тогда
.
Аналогично можно определить изображение по заданной функции
.
Т.о. принципиальной разницы между D – преобразованием и Z – преобразованием не существует. Все основные свойства Z – преобразования могут быть получены из соответствующих свойств D – преобразования.
В выражении (11.12) справа стоит ряд, который сходится абсолютно в каждой точке полуплоскости , сходится равномерно в каждой полуплоскости и
расходится в полуплоскости (рис.11.2).
Величина называется абсциссой абсолютной сходимости D – преобразования (11.12).
Т.о. область сходимости D – преобразования есть полуплоскость, расположенная справа от прямой (рис.11.2).
Если в частности , то ряд (11.12) сходится всюду, если же , то D – преобразования не существует.
Так же можно сказать, что функция является аналитической в полуплоскости .
По аналогии с непрерывным преобразованием Лапласа, будем называть оригиналом решетчатую функцию , которая равна нулю при n<0 и удовлетворяет при условию
где М>0 и некоторые постоянные величины. Величина называется показателем роста решетчатой функции .
Теорема. Для всякого оригинала изображение определено в полуплоскости и является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Непосредственно из определения D – преобразования по формуле (1) следует, что функция является периодической вдоль мнимой оси плоскости q с периодом .
Действительно,
где r – любое целое число.
Поэтому достаточно изучить свойства функции в любой полосе шириной . Наиболее удобна для этой цели полоса
. (рис.11.3).
Эту полосу удобно называть основной полосой.
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 317 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!