Конечные разности решетчатых функций

Выражение

(11.1)

называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции, или просто первой разностью.

Ясно, что - представляет собой решетчатую функцию, для которой может быть вычислена конечная разность. Т.о. первая разность от решетчатой функции называется разностью второго порядка решетчатой функции , или просто второй разностью

(11.2)

Разность к – го порядка решетчатой функции определяется формулой

(11.3)

Разность любого порядка можно выразить через значения решетчатой функции .

(11.4)

Аналогично для третьей разности:

(11.5)

Для разности произвольного порядка к справедлива формула

(11.6)

где . так называемые биноминальные коэффициенты, такие что:

.

Пример.

Формулы (11.1)-(11.6) позволяют выразить саму решетчатую функцию через её разности различных порядков.

Из (11.1)

(11.7)

Из (11.2)

откуда

. (11.8)

Используя равенство (11.3) при к=3 и равенства (11.4), (11.7), (11.8) получим

(11.9)

Продолжая вычисления можно получить общую формулу

, (11.10)

при n=0

(11.11)

Формулы (11.10) и (11.11) выражают значения решетчатой функции через её конечные разности до порядка l включительно. Эти формулы являются дискретным аналогом разложения непрерывных функций в ряд Тейлора.

Примеры.

1). ,

.

2). .

3).

4).

Отметим, что операция взятия конечных разностей является линейной операцией, что следует из определения конечной разности

.

Используя выражение (11.1), можно вывести формулу для вычисления разности произведений 2-х функций

.