Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
С помощью преобразования Лапласа можно выполнить интегрирование некоторых видов линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Пусть задано дифференциальное уравнение:
Рассмотрим случай, когда коэффициенты этого уравнения являются полиномами от t, тогда это уравнение может быть преобразовано по Лапласу, если воспользоваться теоремой дифференцирования изображения.
……………………………………………………….
Подставляя в уравнение полученные результаты, можно убедиться, что исходное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение относительно , но это уже будет обыкновенное линейное дифференциальное уравнение. Порядок этого уравнения будет такой, какова наивысшая степень t имеющаяся в исходном уравнении.
Целесообразность преобразования по Лапласу в том, что преобразованное дифференциальное уравнение оказывается более простым, чем исходное.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
или
.
Получим линейное дифференциальное уравнение 1 порядка. Решим его методом Бернулли с помощью подстановки X=UV. При этом уравнение примет вид:
Согласно методу Бернулли будем иметь:
Тогда изображения искомого решения примет вид:
Возвращаясь к оригиналу, получим
8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть дана система n дифференциальных уравнений 2го порядка.
, (8.9)
где – к -тая функция, которую необходимо найти,
- коэффициенты системы,
- правые части.
Пусть заданы начальные условия
Пусть
Применяя к обеим частям каждого уравнения преобразование Лапласа, получим систему:
,
Эта алгебраическая система относительно неизвестных . Решим её и затем переходим к оригиналам.
Пример. Решить систему
При начальных условиях x(0)=1, y(0)=0, z(0)=-1.
Решение: Пусть , ,
В области изображений система примет вид:
или
Решим систему:
.
Аналогично найдутся и другие функции y (t) и z (t). Для решения системы дифференциальных уравнений операторным методом требуется решить только одну систему линейных алгебраических уравнений. При этом учитываются и начальные условия. Следует отметить возможность нахождения каждой неизвестной функции независимо от других. Проделать тоже самое классическим методом весьма затруднительно.
8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
В ряде технических задач приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями, в которых неизвестная функция входит при различных значениях аргумента, например:
и т.п.
Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами.
Если постоянные, то мы имеем так называемое дифференциально – разностное уравнение.
Если и старшая производная входит в дифференциально-разностноеуравнение только при одном значении аргумента, не меньшем всех других аргументов функций и производных, входящих в уравнение, то уравнение называют дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом.
Пусть дано дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом с постоянными коэффициентами
,
где = const, .
Возьмем для простоты нулевые начальные условия
.
Применяя преобразования Лапласа, получим
.
Откуда найдем
от изображения переходим к оригиналу x(t).
Пример: Решить уравнение.
.
Решение:
В области изображений откуда
Переходим к оригиналу
.
8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла.
Например, (8.10)
-это линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Здесь y(x) – неизвестная функция,
f(x) и r(x,t) – заданные функции.
Функцию r(x,t) называют ядром уравнения (8.10),
a и b=const.
Изменим (8.10) следующим образом.
(8.11)
Получим линейное интегральное уравнение Вольтерра 2го рода.
Если в (8.10) и (8.11) , то уравнения будут называться однородными.
Если искомая функция y(x) входит только под знак интеграла, то (8.10) и (8.11) преобразуются в уравнения Фредгольма и Вольтерра 1го рода.
или .
Совершенно очевидно, что большую роль в решении будет играть ядро уравнения, т.е. функция r(x,t). Важный класс уравнений Вольтерра получается, если ядро r(x,t) зависит только от разности
r(x,t)=r(x-t).
Уравнение в этом случае имеет вид.
(8.12)
Его еще называют уравнением типа свертки.
Пусть входящие в уравнение (8.12) функции удовлетворяют условиям оригинала, тогда может быть найдено изображение функций по Лапласу
Пользуясь формулой свертки, получим операторное уравнение
.
Откуда
.
Для Ф(р) находим - решение интегрального уравнения (8.12).
Пример. Решить интегральное уравнение
.
Решение:
Так же решаются и системы интегральных уравнений.
Пример. Решить систему интегральных уравнений
в области изображений получим:
преобразовав, будем иметь:
или,
решим методом Крамера:
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 1472 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!