Любая ли квадратная матрица имеет

обратную?

Теорема (условие существования обратной матрицы). Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда эта матрица А является невырожденной. Если обратная матрица существует, то она является единственной.

1.4. Как найти обратную матрицу?

Для этого нужно:

1. Вычислить det A. Если det A ¹ 0, то матрица А^-1 существует.

2. Составить союзную матрицу А^*, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А^* =

3. Транспонируя матрицу А^*, получить матрицу А^*_т, которую называют присоединенной матрицей и обозначают через :

= .

4. Матрицу умножить на число :

A^-1 = =

5. Сделать проверку: A^-1 × А = А × A^-1 = Е.

1.5. Как решить матричное уравнение?

Существуют два основных типа матричных уравнений:

А × Х = В и Х × А = В, где Х – неизвестная матрица, А и В – известные матрицы.

Для того, чтобы решить уравнение А × Х = В, надо обе его части умножить слева на А^-1:

А^-1 × А × Х = А^-1 × В.

Так как А^-1 × А = Е, то получим

Е × Х = А^-1 × В.

Поскольку Е × Х = Х × Е = Х, то

Х = А^-1 × В.

Для того, чтобы решить уравнение Х × А = В, надо обе его части умножить справа на А^-1:

Х × А × А^-1 = В × А^-1

Х Е = В × А^-1

Х = В × А^-1.

Ясно, что для решения уравнения А × Х × В = С нужно это уравнение умножить слева на А^-1 и справа на В^-1:

А^-1× А × Х × В × В^-1 = А^-1 × С × В^-1

Е × Х × Е = А^-1 × С × В^-1

Х = А^-1 × С × В^-1.