Решение систем дифференциальных уравнений операционным методом

п.1. Определение и основные свойства преобразования Лапласа

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного переменного , удовлет-воряющая следующим условиям:

1° при ;

2° с возрастанием модуль функции растет не быстрее некоторой показательной функции, т.е. существуют числа и такие, что для всех имеем ;

3° на любом конечном отрезке [a,b] положительной полуоси функция удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.:

a) она ограничена;

б) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода;

в) имеет конечное число экстремумов.

Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством

(1)

при . Условие 2 обеспечивает существование интеграла (1).

Преобразование (1), относящее оригиналу его изображение , называется преобразованием Лапласа.

Тот факт, что функция является изображением оригинала , обозначается следующими символами:

или .

Уславливаются за значение оригинала во всякой его точке разрыва 1-го рода принимать полусумму его предельных значений слева и справа от этой точки:

при ;

при .

При соблюдении этого условия соответствие между оригиналами и изображениями взаимнооднозначно (т.е. всякому оригиналу соответствует единственное изображение и обратно).

Свойства преобразования Лапласа:

Всюду ниже считаем: и .

I. Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных и

.

II. Теорема подобия. Для любого постоянного

.

III. Дифференцирование оригинала. Если есть оригинал, то .

Обобщение. Если n раз непрерывно дифферен-цируема на и есть оригинал, то

.

IV. Дифференцирование изображения равносильно умножению оригинала на “минус аргумент”, т.е.

.

Обобщение: .

V. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на :

.

VI. Интегрирование изображения равносильно делению на оригинала:

(предполагаем, что интеграл сходится).

VII. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа

.

VIII. Теорема смещения (умножение оригинала на показательную функцию). Для любого комплексного числа

.

IX. Теорема умножения (Э. Борель). Произведение двух изображений и также является изображением, причем

. (2)

Интеграл в правой части (2) называется сверткой функций и и обозначается символом

.

Теорема IX утверждает, что умножение изображений равносильно свертыванию оригиналов, т.е.

.

Таблица 1. Изображения основных элементарных функций

N			N

В таблице и в каждом из приведенных ниже примеров указывается только значение при (всегда имеется в виду, что , если ).

п. 2. Отыскание оригинала по изображению

При отыскании оригинала по изображению в простейших случаях используют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разложения (первую и вторую).

Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал для изображения, являющегося дробно-рациональной функцией от , т.е. , где и - многочлены от соответственно степени и , причем . Если разложение (p) на простейшие множители имеет вид

),

где , то, как известно, функцию можно разложить на сумму элементарных дробей вида , где принимает все значения от 1 до , а - все значения от 1 до . Таким образом,

(1)

Все коэффициенты этого разложения можно определить по формуле

(2)

Вместо этой формулы для определения коэффициентов могут быть использованы элементарные приемы, применяемые в интегральном исчислении при интегрировании рациональных дробей. В частности, это целесообразно делать в тех случаях, когда все комплексные корни знаменателя простые и попарно сопряженные.

Если все корни простые, т.е.

при ),

то разложение упрощается:

где

(3)

При отыскании тем или иным способом разложения на простейшие дроби оригинал находится по следующим формулам:

а) в случае кратных корней знаменателя :

(4)

б) в случае простых корней знаменателя :

(5)

Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням , т.е.

(причем этот ряд сходится к при , где

), то оригинал находится по формуле

причем этот ряд сходится для всех значений (первая теорема разложения).

п. 3. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение системы двух уравнений с постоянными коэффициентами

(1)

удовлетворяющее начальным условиям

(2)

Будем предполагать, что функции , а также и являются функциями-оригиналами. Пусть

По правилу дифференцирования оригиналов (см. свойство III п.2), с учетом (2), имеем:

.

Применяя к обеим частям каждого из уравнений системы (1) преобразование Лапласа, получаем операторную систему:

Эта система является линейной алгебраической системой двух уравнений с двумя неизвестными и . Решая ее, мы найдем и , а затем, переходя к оригиналам, получим решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Аналогично решаются линейные системы вида