Пифагор и его школа

Пифагор родился на острове Самосе, расположенном вблизи Ионийского побережья. Вокруг личности Пифагора создалось столько легенд, что трудно судить, что в них хоть отчасти соответствует действительности и что является вымыслом. Мы не знаем даже точных дат его рождения и смерти: по некоторым данным Пифагор родился около 580 г. и умер в 500 г. до н. э.

В молодости Пифагор много путешествовал и имел возможность хорошо ознакомиться с Египтом и теми сведениями по математике, которые со времен глубокой древности хранились египетскими жрецами почти в неизменном состоянии. По возвращении из Египта около 530 г. Пифагор создал на родине свою школу, в основе которой лежала аристократическая идеология, резко противоречащая идеологии античной демократии, преобладавшей в те времена на Самосе.

В основу философии пифагорейского союза было положено мистическое учение о числе. Пифагорейцы считали, что число есть лежащая в основе бытия причина стройности и порядка, господствующей самородной связи вечного постоянства в мировом строе. Число — это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными, условие всего определяемого, всего познаваемого. Вещи суть подражания числам.

Вследствие того что пифагорейцы придавали числу такое огромное значение, в школе Пифагора уделялось много внимания изучению чисел, то есть было положено начало т е о р и и ч и с е л.

За нею постепенно создавалась геометрическая алгебра. Эта алгебра, конечно, носила совсем иной характер, чем современная, так как она не обладала главным преимуществом современной алгебры — ее символикой. Характерным признаком геометрической алгебры было то, что все ее выводы основывались на геометрических соображениях. Так, вывод формул сокращенного умножения проводился следующим построением.

1. Формула «Квадрат суммы двух количеств». Построим квадрат, стороны которогo равны сумме отрезков а и b. Через точки раздела отрезков проведем прямые, параллельные сторонам квадрата. Из чертежа видно, что

(а+ b)² = а² + ab+ab+b² = а² +2аb+ b².

2. Формула «Квадрат разности двух количеств». Построим квадрат, стороною которого является разность отрезков а и b. Проведя внутри этого квадрата прямые, параллельные сторонам квадрата, как это указано на чертеже, получим следующее геометрическое соотношение:

(a - b) ² = а² — ab — ab+ b² = а² — 2ab+ b²

Указанные приемы и сейчас являются удачными наглядными иллюстрациями алгебраических доказательств формул сокращенного умножения.

Возможно, что в школе Пифагора проводилось и решение квадратных уравнений геометрическим путем.

Надо полагать, что пифагорейцы обладали достаточно обширными сведениями из разделов геометрии: им были известны теоремы о равенстве треугольников, учение о параллельных, о сумме углов треугольника, о подобии; они пользовались методами построения равновеликих фигур и основными положениями стереометрии. Одним из важнейших открытий, приписываемых пифагорейцам, считается доказательство теоремы, дающей зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, известной в истории под названием «теоремы Пифагора».

Во время пребывания в городе Мерапонте он погиб в стычке с противниками. После распада пифагорейского союза ученики Пифагора рассеялись по различным городам Греции, причем большинство их сосредоточилось в Афинах.

Пифагорейская теория чисел Каждый из нас знает теорему Пифагора, доказанную им 8 тысяч лет назад. Но не каждому известно, что Пифагор был одним из величайших философов, учение которого, к сожалению, не сохранилось до наших дней. Его великий труд умер вместе с ним и его учениками, разбросанными по всему миру после смерти учителя и не сумевшими восстановить школу, чтобы сохранить мудрость Мастера. Учение Пифагора известно нам лишь в пересказах древних философов. Они не могут дать полного представления об этом человеке и его учении, но из этих малочисленных, отрывочных сведений мы можем судить, насколько умен был этот человек, и его знания математики - лишь частица знаний, которую он не смог оставить будущим поколениям. Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона. Аристотель писал: «Пифагор признал математические начала за начала всего сущего». Философская истина переносится им на музыку и числа. Число понимается как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям. Пифагор, определяя число как энергию, и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Именно наука о числе может обладать ключом жизни и сути бытия. Проникая в свойства чисел, объясняя их различные сочетания, Пифагор пытался создать науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: четные и нечетные, и с удивительной чуткостью выявил свойства чисел каждой группы. Четные числа обладают следующими свойствами: любое число может быть разделено на две равные части, обе из которых либо четны, либо нечетны. Например, 14 делится на две равные части 7 + 7, где обе части нечетные; 16 = 8 + 8, где обе части четные. Пифагорейцы рассматривали четное число, прототипом которого была дуада, неопределенным и женским. «Четные числа, допускавшие раздвоение, казались более разумными, олицетворяли некоторое положительное явление», - писал Аристотель. Так число получало характер, теряло вечное, абстрактное начало. Четные числа Пифагор делили на 3 класса: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-нечетные. Первый класс составляют числа, которые представляют собой удвоение чисел, начиная с единицы. Таким образом, это 1,2,4,8,16,32,64,128,512 и 1024. Совершенство этих чисел Пифагор видел в том, что они могут делиться пополам и еще раз, и так далее до получения единицы. Четно-четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого числа терминов1, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. К примеру, сумма четырех терминов (1+2+4+8) равна пятому термину - 16 минус один, то есть 15. Ряд четно-четных чисел имеет и такое свойство: первый член, умноженный на последний, дает последний пока в ряду с нечетным числом терминов не останется одно число, которое будучи умножено само на себя даст последнее число в ряду. Четно-нечетные числа - это числа, которые, будучи разделены пополам, не делятся. Они образуются следующим образом: берется нечетное число, умножается на 2, и так весь ряд нечетных числе. В этом процессе 1,3,5,7,9,11 дают четно-нечетные числа 2,6,10,14,18,22. Таким образом, каждое такое число делится на два один раз и больше делиться не может. Другая особенность этого класса чисел состоит в том, что если делитель - нечетное число, частное - всегда будет четным, и наоборот. Например, если 22 разделить на 2, четный делитель, частное 11 будет нечетно. Данный класс чисел примечателен еще и тем, что любое число в ряду является половиной суммы терминов по обе стороны его в ряду: 18 есть ½ суммы 14 и 22 (чисел стоящих от данного числа по обе стороны). нечетно-нечетные числа является компромиссными между четно-четными и четно-нечетными числами. В отличие от четно-четных они не могут последовательным делением привести к 1, и в отличие от четно-нечетных они позволяют более чем однократное деление пополам. Нечетно-нечетные числа получаются следующим образом: умножая четно-четное число (больше 2) на нечетное число. Другие нечетно-нечетные числа образуются умножением ряда нечетных чисел на 4 и далее на весь ряд четно-четных чисел. Четные числа разделяются на три других класса: сверхсовершенные, несовершенные и совершенные. Сверхсовершенные числа - это такие числа, сумма дробных частей, которых больше их самих. Например, 24 имеет суммой своих дробных частей 12+6+4+8+3+2+1 число 33, что превышает 24, исходное число. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма дробных частей, которых меньше его самого. Например, число 14 сумма его дробных частей 7+2+1=10, что меньше 14. Совершенное число - это такое число, сумма дробных частей которого равна самому числу. Такие числа чрезвычайно редки. Есть только одно число между 1 и 10, а именно 6; одно между 10 и 100 - число 28, одно между 100 и 1000 - 496, одно между 1000 и 10000 - 8128. Совершенные числа находят следующим образом: первое число ряда четно-четных чисел складывается со вторым числом ряда, и если получается простое число, оно умножается на последнее число ряда четно-четных чисел, участвовавших в образовании суммы. Если сложение четно-четных чисел не приводит к несоставному числу. Например, первые два числа четно-четного ряда (1,2) в сумме 3, которое умножается на 2 и получаем 6, первое совершенное число. Совершенные числа, будучи умноженными на 2, дают сверхсовершенные числа, а будучи разделенными пополам - несовершенные. Пифагорейцы развивали свою философию из науки о числах. Совершенные числа, считали они есть прекрасные образы добродетелей. Они представляют собой середину между излишеством и недостатком. Они очень редки и порождаются совершенным порядком. В противоположность этому сверизобильные и несовершенные числа, которых сколь угодно много, не расположены в порядке и не порождаются с некоторой определенной целью. И поэтому они имеют большое сходство с пороками, которые многочисленны, неупорядочены и неопределены. Нечетные числа не могут быть разделены равным образом, то есть поровну. Пифагор объяснял неспособность таких чисел делится пополам следующим образом: поскольку 1 всегда остается не делимой, нечетное число таким же образом не может быть делимым. Если нечетное число попытаться разделить поровну, то получается два четных числа, а последнее из них единица, которая является неделимой. Например, 9 есть 4+4+1. Нечетные числа имеют и такое свойство - если какое-либо нечетное число разделить на две части, одна всегда будет четной, а другая - всегда нечетной. Пифагорейцы рассматривали нечетное число, прототипом которого была монада, определенным и мужским, хотя по поводу 1 (единицы) среди них существовали определенные разногласия. Некоторые считали его положительным, потому что, если его добавить к нечетному число, оно станет четным и, таким образом, рассматривается как андрогенное число, совмещающие как мужские, так и женские атрибуты, значит оно и четно и нечетно. Обычаем у пифагорцев было приношение высшим богам нечетного числа предметов, в то время как богиням и подземным духам приносить четное число. Нечетные числа делятся на 3 общих класса: несоставные, составные и несоставные - составные. Несоставные числа - это такие числа, которые не имеют других делителей, кроме себя самого и единицы. Это числа 3,5,7,11,13,17 и т.д. Составные числа - это числа, делимые не только сами на себя, но и на некоторые другие числа. Такими числами являются те из нечетных чисел, которые не входят в группу несоставных. Это числа 9,15,21,25,27,33,39 и т.д. Несоставные-составные числа - эта числа, не имеющие общего делителя, хотя каждое из них делимо. Если взять два числа и обнаружить, что они не имеют общего делителя, такие числа можно назвать несоставными-составными числами. Например, числа 9 и 25. 9 делимо на 3, а 25 на 5, но ни одно из них не делимо на делитель другого, они не имеют общего делителя. Несоставными-составными они называются потому, что каждое из них имеет индивидуальный делитель, а поскольку эти числа не имеют общего делителя, они называются несоставными. Таким образом, несоставные-составные числа обнаруживаются только попарно друг с другом. Для определения составных от несоставных нечетных чисел был придуман Эратосфеном1 математический прием. Суть этого приема состоит в следующем: все нечетные числа упорядочиваются по величине, как показано на второй внизу таблице, названной «нечетные числа». Из таблицы видно, что каждое третье число, начиная с 3, делится на 3, каждое пятое - на 5, седьмое - на 7 и т.д. до бесконечности. Этот процесс отсеивает простые числа, то есть те, которые не имеют других делителей, кроме себя и единицы. Идеи интегрального исчисления в трудах Архимеда Архимед развил методы нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел. Его математические работы намного определили свое время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Им найдены общие методы отыскания площадей криволинейных плоских фигур и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями, и применил эти методы ко многим частным случаям: к окружности, сфере, произвольному сегменту параболы, фигуре, заключенной между двумя радиусами и двумя последовательными ветками спирали; к сегментам сфер, к сегментам фигур, образованных вращением прямоугольников. Например, если необходимо найти площадь круга, то Архимед поступал так: «нарезается круг на некоторое количество полосок одинаковой ширины и параллельных. Их необходимо отсечь под прямым углом к полоскам их кривые концы так, чтобы отрезанные куски были меньшими, и затем сложить площади всех получившихся прямоугольников. Это дает приближение к искомой площади».Увеличивая число полосок до ∞ и взяв предел суммы площадей прямоугольников, мы получим площадь круга.Переход к пределу суммы называется интегрированием, а метод такого исчисления – интегральным исчислением.Среди различных приемов Архимеда встречаются настоящие интеграционные методы. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма.Работы Архимеда показывают, что он был прекрасно знаком с математикой и астрономией своего времени, и поражают глубиной проникновения в существо рассматриваемых Архимедом задач. Ряд работ имеет вид посланий к друзьям и коллегам. Иногда Архимед предварительно сообщал им без доказательства свои открытия, с тонкой иронией добавляя несколько неверных предложений.В 9-11 вв. работы Архимеда переводились на арабский язык, с 13 в. они появляются в Западной Европе в латинском переводе. С 16 в. начинают выходить печатные издания Архимеда, в 17-19 вв. они переводится на новые языки.

Ал-ХОРЕЗМИ Мухаммед бен-Муса (783-850)

Полное имя – Абу Абдаллах (или Абу Джафар) Мухаммад ибн Муса ал Хорезми в переводе с арабского означает – отец Абдаллаха (или отец Джафара) Мухаммад, сын Мусы из Хорезма, один из крупнейших ученых (математик, астроном, историк, географ) Средневековья. Биографические сведения о нем почти не сохранились, известно лишь, что он родился в конце 8 в. (предположительно в Хиве), а умер во второй половине 9 в. Приведенные годы жизни – условны. В некоторых источниках его называют «аль-маджуси», т.е. маг, из этого делается вывод, что его предки были магами, жрецами зороастрийской религии, широко распространенной в те времена в Средней Азии.

Что же скрывается под этим именем? Имя ал-Хорезми указывает на его родину-среднеазиатское государство Хорезм (ныне территория Узбекистана), бен Муса - значит "сын Мусы", а одно из прозвищ ученого - ал-Маджуси - говорит о его происхождении из рода магов (по-арабски "маджусь"). Это показывает также, что одним из источников знаний Мухаммеда ал-Хорезми была наука доисламской Средней Азии, хранителями которой были маги.

Сведений о жизни и деятельности ал-Хорезми, к сожалению, почти не сохранилось. Известно лишь, что он возглавлял в Багдаде библиотеку Дома мудрости, своего рода Багдадской академии, при халифе ал-Мамуне. А при другом халифе ал-Васике, преемнике ал-Мамуна, он возглавлял экспедицию к хазарам. Но остались арифметический трактат "Книга об индийском счете", алгебраический трактат "Краткая книга об исчислении аль-джебры и алмукабалы", астрономические таблицы и географический трактат. Оба математических трактата были переведены на латинский язык средневековой Европы и служили долгое время основными учебниками по математике.

Имя ал-Хорезми в видоизмененной форме Algorithmus превратилось в нарицательное слово "алгоритм" и сначала означало всю систему десятичной позиционной арифметики. Впоследствии этот термин приобрел более широкий смысл в математике как правило выполнения операций в определенном порядке. Вспомним, к примеру, алгоритм Евклида или алгоритм решения квадратного уравнения. Слова "аль-джебр" и "алмукабала", стоящие в заглавии алгебраического трактата, означали две простейшие алгебраические операции при решении уравнений. От слова "аль-джебр" произошел термин "алгебра". Если привести запись при помощи современной символики, то эти два действия можно пояснить на следующем примере.

Пусть дано уравнение 6х-13= 5х - 8. Прибавив к обеим частям по 13 и 8, совершим действие "аль-джебр". Получим 6х+ 8 = 5х+ 13. Отнимая от обеих частей по 5х и по 8, совершим действие "алмукабала" и в результате получим х=5. Таким образом, действия "аль-джебр" и "алмукабала" заменили собой применяющийся ныне перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую и приведение подобных членов. Эти две операции позволили ал-Хорезми приводить всякое алгебраическое уравнение первой и второй степени к каноническим формам, которых у ал-Хорезми шесть.

В отличие от греков, которые, разумеется, тоже решали квадратные уравнения, но решали чисто геометрическим путам, ал-Хорезми чертежом пользуется лишь для пояснения справедливости своего риторического решения. Он может решить любое квадратное уравнение по его общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было именно геометрическое решение, то метод ал-Хорезми-почти алгебраический. И это колоссальный шаг вперед по сравнению с геометрической алгеброй греков; от него остается один шаг (правда, длиной в добрых семь с лишним веков) к алгебре символической, алгебре Виета-Ньютона. В своем арифметическом трактате ал-Хорезми в основном следовал индийским образцам, и именно через него европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с употреблением нуля и с поместным значением цифр.

Алгебраический же трактат отличался от работ как индийских математиков, так и греческих. Можно полагать, что в этой книге ал-Хорезми следовал местным традициям и собственным результатам. Если большинство греков не видело необходимости в приложении научных знаний к практическим потребностям, то главным желанием ал-Хорезми было поставить науку на службу человечеству, приспособить ее к практическим целям. Алгебра ал-Хорезми имеет раздел о торговле и торговых сделках, с задачами на тройное Правило. Таким образом, впервые в истории математики в трактате ал-Хорезми появились общие правила решения квадратные уравнений. Но потребовались еще сотни лет, чтобы им придать общепринятую сейчас форму.

Считается установленным, что Аль-Хорезми был автором 9 сочинений:

1. Книга об индийской арифметике (или Книга об индийском счете);

2. Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы;

3. Астрономические таблицы (зидж);

4. Книга картины Земли;

5. Книга о построении астролябии;

6. Книга о действиях с помощью астролябии;

7. Книга о солнечных часах;

8. Трактат об определении эры евреев и их праздниках;

9. Книга истории.

Из этих книг до нас дошли только 7 – в виде текстов либо самого Аль-Хорезми либо его арабских комментаторов, либо в переводах на латынь.

Сочинение Аль Хорезми об арифметике сыграло важнейшую роль в истории математики и хотя его подлинный арабский текст утерян, содержание известно по латинскому переводу 12 в., единственная рукопись которого хранится в Кембридже. В этом сочинении впервые дано систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления. Перевод начинается словами «Dixit Algorizmi» (сказал Алгоризми). В латинской транскрипции имя Аль-Хорезми звучало как Algorizmi или Algorizmus, а так как сочинение об арифметике было очень популярно в Европе, имя автора стало нарицательным – средневековые европейские математики так называли арифметику, основанную на десятичной позиционной системе счисления. Позднее так называли всякую систему вычислений по определенному правилу, теперь этот термин означает предписание, задающее процесс вычислений, начинающийся с произвольных исходных данных и направленный на получение результата, полностью определяемого этими исходными данными.