Пьер Ферма

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец – Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать – Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне (во Франции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики нового времени.

Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античной филологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии по алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Всегда можно составить и решить некое простое алгебраическое уравнение, корни которого определяют экстремум. Он придумал алгоритм, который станет основой дифференциального исчисления. В обрывках писем, в незавершенных рукописях сквозь громоздкие вербальные обозначения на латыни отчетливо проступает нечто мучительно знакомое:

.

Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

В трудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно мало исследований по теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правила делимости и доказывает бесконечность множества простых чисел. Можно также припомнить cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) – метод выделения простых чисел из натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особняком стоят сочинения Диофанта (III век до н. э.), который рассматривал задачи о представлении чисел и решал неопределенные уравнения в целых числах. Из тринадцати книг его “Арифметики” до наших дней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений Диофанта на латинский и французский языки появились лишь в начале XVII в. Баше де Мезириак в 1621 г. издал перевод “Арифметики” с собственными подробными комментариями и дополнениями. Именно это издание, попавшись в руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики.

Ферма внимательнейшим образом штудирует “Арифметику” и помещает на полях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения из теории чисел (в основном без доказательств) рассеяны в письмах Ферма. Этого вполне хватило для возникновения нового направления в математике. После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр “Арифметики” под названием “Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора”. В книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текст сочинения Жака де Бильи “Новое открытие в искусстве анализа”, написанное на основе писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистами открылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичность теоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В то время мало кто понимал, как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознать формулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово. Но бурная история развития идей Ферма только начиналась.

В последствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме английским математикам Дигби и Броункеру. Это письмо имеет специальный подзаголовок: “Второй вызов Ферма математикам”. Ферма пишет: “Едва ли кто-нибудь может предложить или даже понять чисто арифметические задачи. Ибо разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чем арифметически. Это подтверждает большинство трудов древних и новых авторов; подтверждают это и труды самого Диофанта. Он несколько более других отдалился от геометрии, когда начал излагать Аналитику в рациональных числах; однако и эта часть не совсем лишена геометрии, что вполне доказали книги Виета “Зететика”, где метод Диофанта переносится на непрерывные величины, а значит, и на геометрию.... Лишь я, словно идущий впереди факелоносец, предлагаю вам для доказательства или построения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите, то поймете, что задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способом доказательства не уступают знаменитейшим проблемам геометрии”.

Ферма, изучая труды Диофанта, сделал свои заметки на полях, среди которых можно найти «великую» теорему Ферма о том, что уравнение невозможно при целых положительных значениях x, y, z, если n > 2. В 1847г Куммера это привело к теории идеальных чисел.

В другой заметке на этих полях Ферма утверждает, что простое число вида 4n+1 может быть единственным образом представлена как сумма двух квадратов. Эту теорему позже доказал Эйлер.

Еще одна «Теорема Ферма», которая утверждает, что а ^{р – 1} – 1 делится на р, р – простое число и а не делится на р, высказана в письме от 1640г.

Ферма был также 1^ым, кто утверждал, что уравнение (А – целое и не квадрат) имеет сколько угодно целых решений.

Ферма и Паскаль стали основателями математической теории вероятностей.

Вопрос о представлении чисел в виде суммы 2х квадратов исчерпывается следующим утверждением: натуральное число представлено виде суммы целых чисел т.и т.т., когда все простые сомножители вида 4к + 3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями.