Деятельность Огюстена Луи Коши в области обоснования математического анализа

Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству…

Лагранж.

В Политехнической школе Коши читал лекции по математическому анализу. Весь курс лекций был опубликован в трех книгах: «Курс анализа» (1821), «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823), «Лекции по приложениям анализа к геометрии» (2 тома, 1826, 1828). Эти книги имеют особое значение потому, что в них впервые математический анализ последовательно строится на основе теории пределов. Они знаменуют начало коренной перестройки основ этой науки – перестройки, непосредственно предшествующей ее современному состоянию.

«Курс анализа» Коши, называемый иногда «Алгебраическим анализом» (в соответствии с текстом подзаголовка), посвящен изучению элементарных функций как вещественного, так и комплексного переменного, включая учение о бесконечных рядах. В этом отношении Коши следовал установившимся в XVIII в. благодаря Эйлеру традициям: предпослать собственно дифференциальному и интегральному исчислению учение о функциях. Значение такого сочинения в структуре анализа очевидно. Классификация функций, разложение их в степенной ряд, в бесконечные произведения, частные приемы преобразования функций необходимы для успешного применения к ним операций рассматривались как специфические для анализа бесконечно малых. Все предшествующие им преобразования функций, хотя и совершаемые как над конечным, так и над бесконечным числом объектов, получили поэтому специфически-смешанное название: «Алгебраический анализ».

Алгебраический анализ Коши уже во многом напоминает современное изложение основ математического анализа. В нем впервые вводится бесконечно малая величина как переменная, предел которой равен нулю. Непрерывность функции рассматривается как наличие соответствия бесконечно малого приращения функции бесконечно малому приращению аргумента. С большей тщательностью изложен вопрос о сходимости бесконечных рядов, существование которой обусловливается наличием предела сумм конечного числа членов с обязательной строгой аналитической оценкой остаточного члена.

Чтобы распространить понятие сходимости на возможно более широкие классы рядов, Коши связал сходимость знакопеременных рядов со сходимостью рядов, составленных их модулей их членов. Относительно абсолютной сходимости, введенной таким образом, он доказал ряд теорем, например теорему о том, что сумма ряда, являющегося произведением двух абсолютно сходящихся рядов, равна произведению их сумм.

Коши поставил на достаточно прочную основу исследование признаков сходимости рядов. Этому предшествовали лишь немногие открытия: интегральных признак (Маклорен, 1742) и недостаточно строго сформулированный признак Даламбера (1768). В лекциях Коши указан ряд достаточных признаков сходимости.

За этими результатами Коши последовал длинный ряд исследований, имеющих целью выработать наиболее общие и чувствительные признаки сходимости рядов. Полное исследование условий сходимости ряда на комплексной плоскости дал в 1826 г. Абель. Новые достаточные признаки, вошедшие затем в учебные курсы, нашли Й.Раабе (1832), Н. Лобачевский (1834), Э. Куммер (1835), Бонне (1842), Бертран (1842), В. П. Ермаков (1870) и др. определенный итог всем частным попыткам отыскания признаков сходимости подвел. Н.В. бугаев (1863 и 1888), введший теорию сопряженных рядов, позволившую охватить с единых позиций множество признаков. Теория рядов обогатились в лекциях Коши установлением области сходимости степенных рядов

как для действительных, так и для комплексных значений аргумента. Для последних определен (в 1844 г.) круг сходимости и выведена теорема, известная ныне как теорема Коши – Адамара: ряд сходится (соответственно, расходится), если

Разъяснено, что если , то ряд сходится на всей плоскости; если , то область сходимости исчерпывается единственной точкой; наконец, условие 0 ‹ ‹ ∞ означает, ряд сходится внутри круга радиуса и расходится вне его.

К сожалению, у Коши нет еще представления о равномерной сходимости ряда в интервале. Из-за этого в алгебраический анализ попала неправильная теорема: сходящийся ряд непрерывных функций в области сходимости представляет сам непрерывную функцию. Вскоре (1826) эту ошибку, впрочем, отметил и исправил Абель. Понятие равномерной сходимости было введено в 1848 г. Дж. Стоксом и Л. Зейделем.

То же стремление перестроить весь анализ на основе теории пределов выражено во второй книге Коши – «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823). В ней изложено дифференциальное и интегральное исчисление функций действительного переменного. Об особенностях структуры этой книги, вытекающих из поставленной цели, в книге говорится: «Моей главной целью было согласовать строгость, которую я вменял себе в обязанность в изложении моего курса анализа (имеется в виду алгебраический анализ), с простотой, вытекающей из непосредственного рассмотрения бесконечно малых количеств. По этой причине я считал долгом отвергать разложения функций в бесконечные ряды во всех случаях, когда полученные ряды не сходятся, и я был вынужден отнести к интегральному исчислению формулу Тейлора, так как формулу эту считать общей лишь тогда, когда содержащийся в ней ряд сведен к конечному числу членов и дополнен определенным интегралом (речь идет об интегральной форме остаточного члена).

Я знаю, что знаменитый Лагранж – автор «Аналитической механики» взял формулу, о которой идет речь, в качестве основы своей теории производных функций. Но, несмотря на все почтение, внушаемое таким большим авторитетом, большая часть геометров (так в ту пору называли всех математиков) согласно признает теперь недостоверность результатов, к которым можно прийти, употребляя расходящиеся ряды; мы прибавим, что во многих случаях теорема Тейлора как бы дает разложение функции в сходящийся ряд, хотя сумма этого ряда существенно отличается от предложенной функции. Впрочем, я надеюсь, что читатели моего сочинения убедятся в том, что принципы дифференциального исчисления и его важнейших приложений могут быть легко изложены без помощи рядов».

Далее следует лекции по дифференциальному исчислению, весьма уже сходные с привычным нам изложением. Впечатление сходимости усиливается, когда мы встречаем критерий сходимости последовательностей (критерии Больцано - Коши): члены сходящейся последовательности с достаточно большими индексами должны сколь угодно мало отличаться друг от друга. Здесь еще нет , - аппарата (для любого существует такое, что для всех n, m ), но существо дела уже выражено. Для дифференциального исчисления Коши характерно также систематическое применение теоремы о среднем значении:

эпизодические упоминания о которой были известны ранее и которую впервые применил Лагранж (1804) для вывода ряда с приближенным выражением остаточного члена. Мы не будем излагать здесь эту часть курса лекций Коши более подробно.

В области интегрального исчисления курс лекций Коши отличился коренным образом от курса Эйлера и других предшественников. Его своеобразие прежде всего проявилось в выборе основного понятия. Это было понятие определенного интеграла.

Новым было и появление в начале лекций аналитического доказательства существования определенного интеграла от непрерывной функций. Доказательство это носит все черты позднейших доказательств теорем существования. Ход мыслей здесь таков: задается функция , непрерывная на отрезке . Этот отрезок делится на n частей точками . Составляется сумма

,

и относительно нее доказывается, что при и . величина интеграла предстает как функция от крайних значений отрезка интеграции и функции .

Заметную часть лекций по интегральному исчислению заняли разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена. Точной оценке остаточного члена и выводу его различных аналитических форм Коши уделил много места и в других своих исследования. В лекциях Коши приведен широко известный и ныне пример функции

соответствующий ряд для которой в точке х=0 сходится, но не к данной функции. Тем самым он провел отчетливое различие между вопросами о сходимости рядов Тейлора вообще и о сходимости к данной функции.

О строгих и нестрогих неравенствах Коши.

В теории и в практических задачах встречаются знаки неравенства, соединенные со знаком равенства (не меньше) или (не больше). Такие неравенства называют нестрогими в отличие от неравенств, содержащих знак > или < и называемых строгими. Символы и были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге. Позже их стали записывать так .

Еще более 2000 лет назад было известно следующее неравенство:

(1)

где a,b 0. Словами оно выражается так: среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не более среднего арифметического этих чисел.

Доказательство (1) основывается на фундаментальном неравенстве, которое выражает неотрицательность квадрата любого числа:

(2)

Здесь только при условии .

Через неравенства (2) вытекает:

или (3)

(3’)

Положив , , получим неравенство (1). Обобщив неравенство (1) на 3,4,5,…n неотрицательных чисел, Коши доказал в 1821 году следующее неравенство:

(4)

Т.е. среднее геометрическое n неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. (Равенство существует при условии, если только все n чисел равны между собой).

Классическое доказательство неравенства (4), данное Коши, основано на методе математической индукции. Ныне известно более десятка доказательств.