Аксиоматика

Начала Евклида состоят из тринадцати книг. Каждая книга начинается с определений; кроме того, первой книге предшествует пять постулатов и пять аксиом (в некоторых списках приводятся еще четыре аксиомы).

Определения «Начал» можно разбить на две группы: рабочие определения, которые используются при построении теории (например, определение равенства двух отношений или определения прямого угла), и описательные, которые далее не употребляются (например, «точка есть то, что не имеет частей» или «линия же — длина без ширины»). Последние, быть может, были попыткой ввести размерность величин: точки — как нульмерной величины, линии — как одномерной.

В настоящее время, следуя Д.Гильберту, такие основные понятия, как «точка», «прямая», «плоскость», определяются системой аксиом в целом, причем под «точками» можно понимать не только те геометрические образы, которые мы с ними связываем, но и, например, пару действительных чисел (х, у), под прямой — множество пар, удовлетворяющих уравнению Ах + Ву + С= 0, и т. д.

Постулаты «Начал» таковы:

«1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.»

Первые три постулата описывают простейшие построения, которые можно осуществить с помощью циркуля и линейки. Четвертый постулат обеспечивает единственность продолжения прямой. Наконец, пятый постулат — знаменитый постулат о параллельных. На первый взгляд, он не имеет отношения к построениям, однако на деле обеспечивает существование точки пересечении у двух прямых, удовлетворяющих сформулированным условиям.

Аксиомы «Начал» описывают общие свойства равенства и неравенства величин. Все аксиомы, кроме четвертой, относятся не только к геометрическим величинам, но и к числам вообще, ко всем величинам, подчиняющимся аксиомам Евдокса. Четвертая аксиома — «совмещающиеся равны» — является единственной, в которой говорится о возможности движения совмещения.

Выбор постулатов и аксиом очень удачен. Почти все они вошли в современную аксиоматику. Однако постулатов и аксиом «Начал» недостаточно для дедуктивного построения геометрии. Евклид не сформулировал многого из того, чем он пользуется в дальнейшем. Так, в «Началах» нет стереометрических постулатов. За исключением четвертой аксиомы, там нет и аксиом движения. Между тем в геометрии Евклида изучаются по существу инварианты движений твердого тела.

При построении геометрии необходимо поэтому либо определить, какие допускаются движения, либо ввести аксиомы конгруэнтности, с помощью которых определяется равенство фигур, и тогда движениями будут точечные взаимно однозначные преобразования, которые переводят прямые в прямые и не нарушают равенства фигур. У Евклида нет ни того, ни другого. Между тем, в доказательствах он пользуется перемещением фигур. Заметим, что формулировка аксиом движения в то время представляла почти непреодолимые трудности. Недостаток этих аксиом, видимо, ощущался Евклидом, и он старался как можно меньше пользоваться движением.

У Евклида имеется только одно из предложений, относящееся к тому, что теперь называют аксиомами непрерывности, — это аксиома Евдокса — Архимеда.

Второй из аксиом этой группы могла бы быть аксиома о существовании общей точки у последовательности вложенных один в другой стягивающихся отрезков или аксиома полноты Дедекинда. Этих аксиом не только нет в «Началах», но они нигде не используются в тексте. Создается впечатление, что точка зрения непрерывности чужда Евклиду. В его геометрии нельзя доказать существования квадрата, равновеликого кругу, потому что такой квадрат не может быть построен циркулем и линейкой. Этому нисколько не противоречит то обстоятельство, что задачи на построения Евклид решает, находя точки пересечения прямых и окружностей, т. е. как будто пользуется непрерывностью этих линий. На самом деле каждое такое построение эквивалентно решению нормальной цепочки квадратных уравнений. Все построения Евклида выполнимы над минимальным полем, в котором разрешимо любое уравнение х²=а²+b². Такое поле в настоящее время называют пифагоровым. Построение такого поля намечено Евклидом в Х книге; разница, по существу, состоит лишь в том, что Евклид рассматривает только положительный числа. Поэтому ему приходится разбирать различные частные случаи, зависящие от взаимного расположения точек на прямой.

В V и VI книгах Евклид оперирует отношениями любых величин — он строит там, по существу, теорию действительного числа и теорию меры. В ХII книге он находит отношения площадей двух кругов, конуса и цилиндра, пирамиды и призмы, наконец, двух сфер. При этом ему как будто приходится выйти из пифагорова поля: площадь круга, например, не принадлежит этому полю. Однако Евклид и здесь рассматривает только такие отношения, которые лежат в пифагоровом поле. Так, он не рассматривает отношения площади круга к квадрату диаметра (т. о. л/4), но показывает, что отношение площадей двух кругов равно отношению квадратов их диаметров, т. е. лежит в поле, если сами диаметры есть величины из этого поля. В остальном все построения Евклида проводятся над пифагоровым полем, для их выполнения по самому существу дела континуум математического анализа является излишним. С этой точки зрения «Начала» можно интерпретировать как глубоко алгебраическое произведение.

Однако предложения самого Евклида допускают выход за пределы пифагорова поля. Так как, например, из пропорции вытекает пропорция , то из теоремы о пропорциональности кругов квадратам, построенным на их диаметрах, следует, что можно говорить об отношении круга к описанному квадрату, а оно равно л/4. Во всяком случае, все преемники Евклида понимали евклидову геометрию как геометрию непрерывных образов и движений. В такой геометрии одной аксиомы Евдокса — Архимеда было недостаточно, на что впервые указал еще Лейбниц.