II способ. Воспользуемся формулой (3.7)

Воспользуемся формулой (3.7). Поскольку , то интеграл в формуле (3.7) берем со знаком «+». Тогда получаем:

.

,

Связь поверхностным интегралом II рода по замкнутой кривой и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает следующая теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 3.1. Если - замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая область , а - функции непрерывные со своими частными производными первого порядка в замкнутой области , то справедлива следующая формула:

. (3.10)

Формула (3.10) называется формулой Остроградского – Гаусса.

Эта формула позволяет упростить вычисление многих поверхностных интегралов.

Пример 3.4. Вычислить , если - верхняя часть плоскости , расположенной в IV октанте.