![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть задана гладкая поверхность . Сторона поверхности
, в каждой точки которой построен вектор нормали
, называется положительной, а другая ее сторона (если она существует) – отрицательной. Если, в частности, поверхность
является замкнутой и ограничивает некоторую область пространства
, то положительной или внешней сторонойповерхности называется та ее сторона, нормальные векторы которой направлены от области
, а отрицательной или внутренней – сторона, нормальные векторы которой направлены в область
.
Поверхность, у которой существует положительная (внешняя) и отрицательная (внутренняя) стороны, называется двухсторонней. Примерами двухсторонних поверхностей являются плоскость, поверхности второго порядка, тор и др. Двухсторонняя поверхность характеризуется следующим свойством: если основание вектора нормали непрерывно перемещать по любому замкнутому контуру
, лежащему на такой поверхности, то при возвращении в исходную точку направление
совпадает с исходным.
Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали при возвращении в исходную точку приводит к «антинормали», т.е. к вектору
. Классическим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса.
Поверхность с выбранной стороной называется ориентированной.
Пусть в прямоугольной системе координат задана некоторая область
. И пусть в этой области задана поверхность
, ограниченная некоторой пространственной линией
.
Относительно поверхности будем предполагать, что в каждой ее точке
определяется положительное направление нормали единичным вектором
, направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности.
Если поверхность задана уравнением
, то нормальный вектор
, образующий с осью
острый угол
, определяется следующим образом:
, тогда координаты единичного вектора нормали
:
.
Если поверхность задана уравнением
,
, то
,
где знак «+» берется в случае, когда угол - острый, а знак «-» в случае, когда
- тупой.
Пусть в области пространства
определена вектор-функция
,
где - функции непрерывные в области
.
Разобьем поверхность на элементарные площадки
, площадки которых
, а диаметры – через
. На каждой площадке
выберем произвольную точку
. Найдем интегральную сумму
.
Предел интегральной суммы, найденный при условии, что ,
, называется поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции
по поверхности
и обозначается
.
Таким образом, по определению
.
(3.3)
Надо отметить, что если поверхность такова, что в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки
по поверхности, и если вектор-функция
непрерывна на этой поверхности, то этот предел существует.
Произведение есть проекция площадки
на плоскость
, то
. Аналогично получаем:
,
. Тогда формулу (3.3) можно записать в виде
. (3.4)
Каждое слагаемое интегральной суммы может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием
и высотой
. Если вектор
есть скорость жидкости, протекающей через поверхность
, то произведение
равно количеству жидкости, протекающей через площадку
за единицу времени в направлении вектора
.
Выражение представляет собой общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность
в положительном направлении, если под вектором
подразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл второго рода называется потоком векторного поля
через поверхность
.
Отметим, что если - замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается
, по внутренней -
.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 235 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!