Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области - проекции поверхности на плоскости .

Если поверхность задана уравнением , то поверхностный интеграл I рода вычисляется по следующей формуле:

, (3.2)

где - проекция поверхности на координатную плоскость .

Если поверхность задана уравнениями вида или , то получаем следующие формулы

и

,

где и - проекции поверхности на координатную плоскость и соответственно.

Пример 3.1. Вычислить , где - часть плоскости , расположенной в первом октанте.

Решение. Построим плоскость в пространстве (см. рисунок).

Запишем уравнение плоскости в виде . Находим , .

По формуле (3.2) имеем:

.

,

Пример 3.2. Вычислить , где - часть цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями .

Решение. В пространстве строим поверхность .

Поскольку , , то получаем     ,

где - прямоугольник .,