Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле

.

Пример 2.6. Найти работу силы вдоль кривой от точки до точки .

Решение. По формуле работы переменной силы находим

.

,

2.7. Формула Остроградского – Грина

Связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по границе этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости задана правильная, односвязная область . Область называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит (область без «дыр»).

Теорема 2.1. Если функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные в замкнутой односвязной области , лежащей в плоскости и ограниченной кусочно-гладкой кривой , то

, (2.10)

где интегрирование по контуру выполняется в положительном направлении.

Формулу (2.10) называется формулой Остроградского – Грина.

Теорему 2.1. примем без доказательства.

Если в некоторой области выполняются условия теоремы 2.1. и , то справедливы следующие утверждения:

1. Если - любой замкнутый контур, расположенный в области , то

.

1. Интеграл не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки и , где .
2. , где - полный дифференциал функции .

Пример 2.7. Вычислить интеграл:

,

где - контур треугольника с вершинами .

Решение. В плоскости изобразим контур интегрирования.

.

2) , . Тогда

.

3) , . Тогда

.

Далее находим .