Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области.

Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла (3.4) к вычислению двойного интеграла:

. (3.5)

где - проекции поверхности на плоскость , - нормальный вектор к поверхности , которая задана функцией . Причем в двойном интеграле переменную надо заменить на .

Поверхностный интеграл II рода в формуле (3.4) можно записать иначе:

. (3.6)

Пусть функция непрерывна во всех точках поверхности , которая задана непрерывной функцией в замкнутой области - проекции поверхности на плоскость . Тогда справедлива следующая формула:

. (3.7)

При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если .

Если поверхность задана непрерывной функцией в замкнутой области - проекции поверхности на плоскость . Тогда справедлива следующая формула:

. (3.8)

При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если .

Если поверхность задана непрерывной функцией в замкнутой области - проекции поверхности на плоскость . Тогда справедлива следующая формула:

. (3.9)

При этом перед двойным интегралом берется знак «+», если , и знак «-», если .

Пример 3.3. Вычислить , если - верхняя часть плоскости , расположенной в первом октанте.

Решение. В пространстве строим поверхность .