![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция
непрерывна в области
. Тогда, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью
. Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее было показано, что
, где
- площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси
, а
и
- уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
направлении оси : любая прямая, параллельная оси
, пересекает границу области не более чем в дух точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси :
, где
.
В сечении получаем криволинейную трапецию , ограниченную линиями
, где
,
и
. Площадь
этой трапеции находим с помощью определенного интеграла:
.
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:
.
С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области
. Следовательно,
.
Таким образом, для вычисления двойного интеграла функции по области
используется следующая формула
. (1.2)
Правую часть (1.2) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области
. Интеграл
называется внутренним интегралом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по
в пределах от
до
.
Если область ограничена прямыми
и
(
), кривыми
и
, причем
для всех
, т.е. область
- правильная (стандартная) в направлении оси
, то, рассекая тело плоскостью
, аналогично получаем
. (1.3)
Здесь при вычислении внутреннего интеграла, считаем постоянным.
Замечания.
1. Формулы (1.2) и (1.3) справедливы и в случае, когда ,
.
2. Если область правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как и по формуле (1.2), так и по формуле (1.3).
3. Если область не является правильной ни «по
», ни «по
», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси
или оси
.
4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
Пример 1.1. Вычислить , если область
ограничена линиями:
.
Решение. I способ.
II способ. Построенная область является правильной в направлении оси
. Для вычисления двойного интеграла воспользуемся формулой (1.3):
.
,
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 254 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!