Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций периода 2p

Определение 12. Функция f (x) называется четной, если она не меняется при изменении знака ее аргумента, т.е. если f (– х) = f (x).

График четной функции симметричен относительно оси координат.

Определение 13. Функция f (x) называется нечетной, если при изменении знака аргумента она меняет знак, но сохраняет абсолютную величину, т.е. если

f (– х) = – f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция может не быть ни четной, ни нечетной.

Теорема 5. Произведение двух функций одинаковой (различной) четности четно (нечетно). Сумма четных функций – четная функция, нечетных функций – нечетная.

Лемма. Верна формула .

Теорема 6. Если f (x) четна, то . (1.15)

Если же f (x) нечетна, то . (1.16)

Пусть f (x) – четная функция, тогда ее коэффициент Фурье а ₀ по формуле (1.15) может быть записан в виде

а ₀ = . (1.17)

Поскольку произведение f (x) cos nx четно по теореме 5, то по той же формуле (1.15)

а_n = . (1.18)

b_n = 0, так как произведение f (x) sin nx нечетно по теореме 5 и к b_n применима формула (1.16). Отсюда следует

Теорема 7. Ряд Фурье четной функции f (x) не содержит членов с синусами и имеет вид:

f (x) = + , (1.19)

причем его коэффициенты можно находить по упрощенным формулам (1.17), (1.18).

Таким же способом устанавливается

Теорема 8. Ряд Фурье нечетной функции f (x) не содержит ни свободного члена, ни членов с косинусами и имеет вид:

b_n sin nx, (1.20)

где b_n = (1.21)

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, определенную равенством f (x) = | x | при –p < x £ p.

Решение:

f (x) имеет период 2p, удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье. f (– x) = f (x), т.е. она четная. (См. рис. 3.)

По формулам (1.17) и (1.18) найдем коэффициенты Фурье:

а ₀ = = = p,

а_n = = = - dx =

= ×cos nx = × =

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f (x) = – (cos x + cos3 x + cos5 x +... + cos((2 n +1) x) +...) = cos((2 n +1) x).

На интервале [–p; p] ряд сходится к функции | x |.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию: f (x)=

Решение:

f (x) имеет период 2p. Она удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье.

f (– х) = – f (x) (см. рис. 4), т.е. f (x) – нечетна, следовательно а ₀ = 0 и а_n = 0.

Рис. 4.

По формуле (1.21) найдем коэффициент Фурье:

b _n = sin nx dx = - cos nx = (1–(–1)ⁿ ) =

b _{2 k +1} = .

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f (x) = (sin x + sin x + sin x +... + sin((2 k +1)· x)), (k = 0,1,2,...)

f (x) = sin ((2 k + 1) x).

На интервале [–p; p] ряд сходится к функции f (x), в точках х = 0 и х = ± p – к нулю.