С периодом 2p

Определение 7. Функциональный ряд вида:

+ (a_n cos nx + b_n sin nx) (1)

называется тригонометрическим, причем a_n и b_n – действительные числа, не зависящие от x.

Пусть y = f (x) – произвольная периодическая функция с периодом Т = 2p, следовательно, функцию можно рассматривать в любом интервале длины 2p, например, (–p; p). На других участках оси (Ох) функция f (x) и ее разложение в ряд будет повторять свои значения и свое поведение в основном интервале.

Предположим, что для любого x Î(–p; p) периодическая функция оказалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся ряд указанного вида:

f (x) = + (a_k cos kx + b_k sin kx) (1.1)

Такое представление дает возможность находить численные значения функции, устанавливать различные свойства функций, решать дифференциальные уравнения и т.п.

Получим формулы для вычисления коэффициентов a_k и b_k. Проинтегрируем почленно данное равенство в пределах от – π до π (законное в силу предложенной сходимости):

. (1.2)

Вычислим отдельно следующие интегралы:

если n – целое,

(1.3)

(1.4)

если n, m – целые, положительные

(1.5)

= (1.6)

. (1.7)

С учетом формул (1.3) и (1.4) почленное интегрирование равенства (1.2) дает:

(1.8)

Умножая (1.1) на cos nx и интегрируя почленно от – π до π, с учетом (1.3), (1.5), (1.7), получим:

(1.9)

Аналогично, умножая (1.1) на sin nx и интегрируя почленно от – π до π и учитывая (1.4), (1.6), (1.7), получим:

(1.10)

Таким образом, из равенств (1.8), (1.9), (1.10) получим выражения для нахождения коэффициентов.

Теорема 1. Если функция f (x), заданная и непрерывная на отрезке [-p; p], разлагается в тригонометрический ряд, то коэффициенты его определяются единственным образом.

Определение 8. Пусть f (x) – произвольная функция с периодом 2p, заданная в интервале (–p; p). Пусть существует интеграл от данной функции в интервале (–p; p), при этом f (x) может иметь конечное число точек разрыва 1-го рода. Рядом Фурье этой функции называется ряд

+

коэффициенты которого определяются по формулам:

а ₀ = ; (1.11)

а_n = (n =1,2,...); (1.12)

b_n = (n =1,2,...). (1.13)

Замечание 1. Для вычисления интегралов потребуются следующие формулы:

для любого n, , , ,

Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует следующая теорема:

Теорема 2 (единственности). Если непрерывная на [-p; p] функция разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот ряд будет обязательно ее рядом Фурье.

Замечание 2. Исходя из теоремы, в определении можно рассматривать не интервал (–p; p), а отрезок [–p; p].

Функция f (x) не всегда разлагается в свой ряд Фурье, т.е. является его сумой, даже если он сходится, а лишь тогда, когда она удовлетворяет условиям основной теоремы:

Теорема 3 (основная). Если функция f (x) кусочно-гладкая на отрезке [-p; p], то ее ряд Фурье сходится к функции f (x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции f (x) ряд сходится к среднему арифметическому ее предельных значений слева и справа, т.е. к значению , где – точка разрыва 1-го рода. В обеих граничных точках интервала сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при стремлении независимой переменной к этим точках изнутри интервала (без доказательства).

Замечание. Функция называется гладкой в интервале, если в этом интервале она непрерывна вместе со своей первой производной. Функция называется кусочно-гладкой в интервале, если данный интервал можно разбить точками разрыва 1-го рода на конечное число интервалов, в каждом из которых функция гладкая.