Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде

Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию f (x), заданную на полупериоде, т.е. в интервале (0, p) или (0, l). В этом случае можно произвольно продолжить функцию f (x) на интервал (–p, 0) или (– l, 0) но так, чтобы образовавшаяся в этом интервале новая функция F (x), совпадающая с f (x) в интервале (0, p) или (0, l), удовлетворяла условиям основной теоремы. Разложив F (x) в ряд Фурье на интервале (-p, p) или (- l, l), получим искомый ряд, представляющий f (x) в интервале (0, p) или (0, l), и не имеет значения, что он в интервале (–p,0) или (– l, 0) представляет какую-то другую функцию, по существу не связанную с данной функцией f (x).

В частности, f (x) можно продолжить четно на интервал (–p,0) или (– l, 0), значит график f (x) надо продолжить симметрично относительно оси (оу). Тогда F (x) – четная функция, и ряд будет состоять только из косинусов.

Если f (x) продолжить нечетно на интервал (–p,0) или (– l, 0), значит график f (x) продолжить симметрично относительно начала координат, то F (x) будет нечетной, и ряд будет состоять только из синусов.

Т.е. можно составить сколько угодно сходящихся тригонометрических рядов, представляющих в интервале (0,p) или (0, l) одну и ту же функцию, а в интервале (–p,0) или (– l, 0) самые разнообразные функции.

Функцию, заданную на полупериоде [0; p], можно разложить в ряд синусов или ряд косинусов, продолжая на второй полупериод соответственно нечетным или четным образом.

Пример 7. Функцию f (x) = – разложить в ряд косинусов на интервале (0; p).

Решение:

Так как требуется разложить в ряд косинусов, то надо продолжить функцию четным образом, то есть ее график будет симметричен относительно оси (оу). На рисунке 7 изображен график полученной четной функции: на заданном интервале (0; p) – сплошной линией, на интервале (–p; 0) – пунктиром.

Рис. 7.

Найдем коэффициенты Фурье по формулам (1.17)–(1.18):

= = = = 0

а_n = = = =

= + nx dx = – = – (–1)ⁿ =

= [ 1 – (–1) ⁿ] =

а _{2 n +1} = k =0,1,2, …

Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:

f (x) = – = .