 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ
|
|
Пусть функция f (x) задана и дифференцируема на отрезке [– l; l ]. Положим φ (z) = 
.
Тогда φ (z) будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке [–π; π].Значит к φ (z) применима теория, изложенная выше, поэтому при – π < z < π будет
φ (x) = 
+ 
.
Положим в этом равенстве 
. Тогда для – l < x < l, то есть для функций с любым периодом 2 ℓ разложение в ряд Фурье, когда оно возможно, и формулы для коэффициентов Фурье таковы:
f (x) = 
+ 
cos 
+ 
sin ), (1.25)
где а 0 = 
(x) dx; аn = 
x) cos dx; bn = 
x) sin dx (1.26)
Если f (x) – четная, то 
, (1.27)
где а 0 = 
(x) dx; а n= (x) cos dx. (1.28)
Если f (x) – нечетная, то 
, (1.29)
где bn = 
(x) sin dx. (1.30)
Замечание. Можно от периода 2 
перейти к периоду 2p, произведя замену переменной по формуле х = 
или х / = p (x– l) и затем вычислять коэффициенты Фурье для 2p - периодических функций.
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x, заданную на интервале –2 £ х £ 2.
Решение:
 |
Рис. 6
График функции f (x) = x изображен на рисунке 6. Видно, что функция нечетная с периодом 2 ℓ = 4, то есть ℓ = 2. Найдем коэффициенты Фурье по формуле 1.30.
bn = 
dx = 
= – 
х cos 
dx =
= – 
cos np + 
= – cos np + 
sin np = – cos np =
= 
Следовательно, по 1.29 разложение в ряд Фурье функции f (x) имеет вид:
f (x) = x = 
– 
+ 
–... = – 
.
Пример 6.
Решение:
Воспользуемся замечанием. Произведем замену переменой х = 
, т.о. получаем функцию:
|
|
Найдем коэффициенты Фурье.
а 0 = 
dx / + 
dx / = 3/2.
an = 
cos nx / dx / + ×cos nx / dx / = =
= 
+ 
= 
nx / dx / =
|
|
[1–(–1)n] = 
bn = sin nx / dx / + ×sin nx / dx / = 
sin nx / dx / = – 
.
Следовательно, f (x) = 
+ 
cos[(2k+1)(x–1)p] – 
sin[ np (x –1)].
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 1471 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
