Сдвиг основного промежутка

Вся теория рядов Фурье излагалась для функций, заданных на отрезке [–p; p], однако вместо этого отрезка можно было бы положить в основу рассуждения любой другой отрезок длины 2p, так как 2p есть период всех функций системы 1, cos x, sin x, cos 2 x, …, и справедлива

Теорема 9. Если функция f (x) имеет период 2p, то интеграл от числа а не зависит. Поэтому всю теорию можно перенести с отрезка [–p; p] на любой отрезок [ а, а +2p].

Теорема 10. Если f (x) дифференцируема на отрезке [0; 2p], то всюду на открытом промежутке (0, 2p) будет

f (x) = + , где

а ₀ = , (1.22)

а_n = , (n =1,2,...); (1.23)

b_n = , (n =1,2,...); (1.24)

ряд сходится в точках x = 0, x = 2p, где его сумма равна

(без доказательства)

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x, заданную на отрезке [0; 2p].

Рис. 5.

Решение:

График функции изобразим на рис. 5. Видно, что функция – разрывная. Найдем коэффициенты Фурье. Здесь

а ₀ = = ,

а_n = , (n =1,2,...),

b_n = .

Стало быть, при 0 < x < 2π будет x = .

В точках x = 0 и x = 2p сумма S (x) ряда равна p.