Самоподобие и фракталы. Определение и примеры

Фрактал обозначает множество, имеющее дробную фрактальную размерность. Для пояснения фрактальной размерности необходимо ввести понятие топологической размерности. Под топологической размерностью Dt множества в линейном пространстве понимают число линейно независимых координат в пространстве. Например, окружность и линия имеют топологическую размерность 1; круг и квадрат – 2; шар и куб – 3. Фрактальная размерность множества D – размерность того пространства, которое полностью заполняется множеством. Для связи фрактальной и топологической размерностей используют показатель Херста – Н, вычисляемый по формуле: H = D – Dt.

Главное свойство фрактала в том, что он сохраняет неизменными основные геометрические особенности при изменении масштаба.

Самоподобие.

Разделим отрезок прямой на N равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной в 1/r раз. Очевидно, N и r связаны соотношением Nr = 1. Если квадрат разбить на N равных квадратов (с площадью, в 1/r2 раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как Nr2 = 1. Если куб разбить на N равных кубов (с объемом, в 1/ r3 раз меньше объема исходного), то соотношение примет вид Nr3 = 1. Заметим, что размерность d объекта, будь то одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как степень r в соотношении между N, числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия r.

Самоподобные фракталы: