Управляемость и наблюдаемость

Система называется полностью управляемой, если из любого начального состояния x(t0) она может быть переведена в любое наперед заданное состояние с помощью вектора управления u(t) за некоторое конечное время t - t0 ³ 0.
Для постоянных матриц A и B система может быть полностью управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы Lc [n´m] будет равен n(n – максимально возможное значение ранга такой матрицы).
Lc = [ B:AB:A2B:...:An-1B]
[n´m] [n´m] [n´m] [n´m]
eAt в общем виде раскладывается в бесконечный ряд,
eAt = I + At + …
для получения конечного результата используем теорему Гамильтона-Кэли. Представим eAt в виде конечного ряда
eAt = a0I + a1(At) + a2(At)2 +... + an-1(At)n-1

И подставим это выражение под интеграл.

Теорема Гамильтона-Кэли: всякая квадратная матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Метод, основанный на этой теореме:
Пусть Р(А)- многочлен от квадратной матрицы А (n´n), степень которого (многочлена) >n
DА - характеристический многочлен матрицы А.

Система называется вполне наблюдаемой, если произвольное состояние x(t0) можно определить по информации u(t) и y(t) на конечном интервале t0 ³ t ³ t1
Для полной наблюдаемости линейных систем с постоянными матрицами необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости L0 [n´nl] был бы равен n.

37. Инвариантность систем.

Системы называются инвариантными, если их ошибка равна нулю при любых задающих и возмущающих воздействиях. Например, самой простой физической инвариантностью является инвариантность законов кинематики при переходе из неподвижной системы координат в подвижную и наоборот.

Полагаем, что имеется устойчивая САУ с передаточной функцией по ошибке Ф_ε(s)=M(s)/D(s), и на нее подается управляющее воздействие g(s)=A(s)/B(s).

Тогда имеет место выражение:

Очевидно, что ошибка ε(s) может быть равна нулю в трех случаях:

1) A(s)=0, т.е. отсутствует входное воздействие (возмущение).

2) Полюса передаточной функции совпадают с нулями функции Ф_ε.

3) M(s) = 0. Для того чтобы это равенство выполнить, необходимо реализовать комбинированное управление, т.е. осуществить управление, как по ошибке, так и по задающему воздействию.