Примеры. Если равные дроби имеют одинаковые знаменатели, то и числители их одинаковы, т.е

1.

Если равные дроби имеют одинаковые знаменатели, то и числители их одинаковы, т.е.

2х+1=А(х+1)(х-3)+В(х-1)(х-3)+С(х-1)(х+1) (**)

Положим х=1, тогда

х=-1, тогда

х=3, тогда

Имеем 3= -4А

-1= 8В

7= 8С

Второй способ нахождения А,В,С состоит в сравнении коэффициентов при одинаковых степенях «х» в левой и правой частях равенства (**).

2.

Под знаком интеграла стоит неправильная дробь, т.к. степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе. Выделяем целую часть, разделив числитель на знаменатель. Подставляем это выражение в интеграл:

, (2)

Теперь под знаком интеграла стоит правильная дробь , знаменатель которой разлагается на множители:

(х³+1)=(х+1)(х²-х+1), причем х²-х+1 не имеет действительных корней, поэтому

х= А +(Вх+С)(х+1)

х=-1 -1=А(1-(-1)+1) А=

х=0 0=А+С С=

х=1 1=А+(В+С) В=

Итак, поэтому

(3),

где J= .

Выделяем полный квадрат в знаменателе:

и делаем подстановку Приходим к результату:

(формула 13 ТОИ) = Подставляя это в равенство (3), получаем: