![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Метод интегрирования с помощью этой таблицы и свойств неопределенных интегралов обычно называют методом «непосредственного» интегрирования.
Примеры:
1. (перемножаем скобки в числителе)=
= (записываем «корни» в виде степеней с дробными показателями)=
(делим почленно числитель на знаменатель)=
(применяем свойство 4 и формулу 3 из таблицы)=
2. (делим почленно числитель на знаменатель) =
(применяем формулы 7,8 ТОИ)=tgx-ctgx+C
3. (свойство4)=
.
4. (по формуле 13 ТОИ)=3ln|x+
|+C.
Одним из самых сильных методов интегрирования является метод подстановки. В его основе лежит легко проверяемая формула:
Эту формулу надо применять тогда, когда первообразная для g(t) известна или легко находится.
Примеры:
1. (делаем обратную подстановку) =
2. (умножаем числитель и знаменатель на 4) =
(формула 14 ТОИ)=
В некоторых случаях полезны специальные подстановки.
3. =
(это «универсальная» подстановка, которая применяется при интегрировании рациональных выражений от тригонометрических функций)= (выполняем тождественные преобразования)=
(формула13ТОИ)=
(переходим к «х») =
.
4. J=
При вычислении этого интеграла можно применить «универсальную» подстановку, но можно обойтись и без нее, сделав следующие преобразования:
1) в знаменателе вынесем за скобки, получим:
J=
5.J= .
При четном показателе степени обычно применяют формулу «понижения степени» за счет перехода к двойному аргументу: В нашем случае будем иметь:
Поэтому
Второй интеграл в скобках преобразуется к виду:
(формула 5 ТОИ)= sin2x+C.
Для вычисления третьего еще раз применим формулу «понижения степени»:
Окончательно, будем иметь:
J=
6.
4. Способы интегрирования дробей вида
где - многочлен n-ой степени от х,
- многочлен m-ой степени от х.
1. n≥m. В этом случае дробь называется неправильной. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть (многочлен степени n-m-Rn-m(x)), получим:
где k<m
- правильная дробь.
2. n<m- имеем правильную дробь. Остановимся сначала на интегрировании «простых» дробей, их четыре типа.
k=2,3,….
m=2,3,…. При этом
не имеет действительных корней, т.е. D=p2-4q<0.
(формула3ТОИ)=
= (формула 2 ТОИ) =
Для интегрирования дробей третьего типа поступаем следующим образом (покажем на примере).
J=
а) находим производную от знаменателя: и числитель представляем так:
3х+1=
J= (по свойству 3 получаем)=
В первом интеграле делаем подстановку:
t= которая приводит его к виду:
(формула 3 ТОИ)=
Во втором интеграле выделяем полный квадрат в знаменателе дроби: =
и делаем подстановку
t=x+2 dt=dx. Получаем:
(формула 13 ТОИ)=
Окончательный результат: J=
Дроби четвертого типа интегрируются в той же последовательности, что и дроби третьего типа, кроме того, применяется рекуррентная формула:
где обозначено
Зная, что находим:
По этой же формуле при n=2 находим:
и т.д.
Таким образом, можно вычислить Jn для любого натурального n.
Дата публикования: 2015-07-22; Прочитано: 372 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!