Метод непосредственного интегрирования и подстановки

Метод интегрирования с помощью этой таблицы и свойств неопределенных интегралов обычно называют методом «непосредственного» интегрирования.

Примеры:

1. (перемножаем скобки в числителе)= = (записываем «корни» в виде степеней с дробными показателями)= (делим почленно числитель на знаменатель)= (применяем свойство 4 и формулу 3 из таблицы)=

2. (делим почленно числитель на знаменатель) = (применяем формулы 7,8 ТОИ)=tgx-ctgx+C

3. (свойство4)= .

4. (по формуле 13 ТОИ)=3ln|x+ |+C.

Одним из самых сильных методов интегрирования является метод подстановки. В его основе лежит легко проверяемая формула:

Эту формулу надо применять тогда, когда первообразная для g(t) известна или легко находится.

Примеры:

1. (делаем обратную подстановку) =

2. (умножаем числитель и знаменатель на 4) = (формула 14 ТОИ)=

В некоторых случаях полезны специальные подстановки.

3. =

(это «универсальная» подстановка, которая применяется при интегрировании рациональных выражений от тригонометрических функций)= (выполняем тождественные преобразования)= (формула13ТОИ)= (переходим к «х») = .

4. J=

При вычислении этого интеграла можно применить «универсальную» подстановку, но можно обойтись и без нее, сделав следующие преобразования:

1) в знаменателе вынесем за скобки, получим:

J=

5.J= .

При четном показателе степени обычно применяют формулу «понижения степени» за счет перехода к двойному аргументу: В нашем случае будем иметь: Поэтому Второй интеграл в скобках преобразуется к виду:

(формула 5 ТОИ)= sin2x+C.

Для вычисления третьего еще раз применим формулу «понижения степени»:

Окончательно, будем иметь:

J=

6.

4. Способы интегрирования дробей вида

где - многочлен n-ой степени от х, - многочлен m-ой степени от х.

1. n≥m. В этом случае дробь называется неправильной. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть (многочлен степени n-m-R_n-m(x)), получим:

где k<m - правильная дробь.

2. n<m- имеем правильную дробь. Остановимся сначала на интегрировании «простых» дробей, их четыре типа.

k=2,3,…. m=2,3,…. При этом не имеет действительных корней, т.е. D=p²-4q<0.

(формула3ТОИ)=

= (формула 2 ТОИ) =

Для интегрирования дробей третьего типа поступаем следующим образом (покажем на примере).

J=

а) находим производную от знаменателя: и числитель представляем так:

3х+1=

J= (по свойству 3 получаем)=

В первом интеграле делаем подстановку:

t= которая приводит его к виду:

(формула 3 ТОИ)=

Во втором интеграле выделяем полный квадрат в знаменателе дроби: = и делаем подстановку

t=x+2 dt=dx. Получаем:

(формула 13 ТОИ)=

Окончательный результат: J=

Дроби четвертого типа интегрируются в той же последовательности, что и дроби третьего типа, кроме того, применяется рекуррентная формула:

где обозначено

Зная, что находим:

По этой же формуле при n=2 находим:

и т.д.

Таким образом, можно вычислить J_n для любого натурального n.