Первообразная функция. Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Интегральное исчисление решает обратную задачу: по заданному дифференциалу, а, следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию. Иными словами, имея выражение

(1)

или соответственно

,

где f(x) – известная функция, нужно найти функцию F(x). Для простоты мы будем предполагать, что равенство (1) выполнено на некотором конечном или бесконечном промежутке.

Искомая функция F(x) называется при этом первообразной функцией по отношению к функции f(x). Таким образом, мы можем дать следующее определение первообразной функции.

Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.

Например, одной из первообразных функций для функции будет , ибо . Первообразная функция не единственна, так как и т.п., и поэтому функции и т.п. также являются первообразными для функции . Следовательно, данная функция имеет бесчисленное множество первообразных.

В нашем примере каждые две первообразные отличались друг от друга на некоторое постоянное слагаемое. Покажем, что это будет иметь место и в общем случае.

Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство. В самом деле, пусть f(x) – некоторая функция, определенная на промежутке , и F₁(x), F₂(x) – ее первообразные, т.е.

и .

Отсюда

.

Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно,

F₁(x) - F₂(x) = С,

где С – постоянная величина, что и требовалось доказать.

Геометрическая иллюстрация. Если

у = F₁(x) и Y = F₂(x)

- первообразные одной и той же функции f(x), то касательные к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой: tgα = = f(x) (рис. 1). В таком случае расстояние между этими кривыми, считается вдоль оси Оу, остается постоянным:

F₂(x) – F₁(x) = С,

В самом деле, с одной стороны, если F(x) есть первообразная функция для f(x), т.е. если , то функция F(x)+C, где С – любая постоянная, в силу того, что производная постоянной равна нулю, также будет первообразной функции f(x), так как

.

С другой стороны, мы доказали, что каждая первообразная функция f(x) может быть получена из функции F(x) путем прибавления к ней надлежащим образом подобранного постоянного слагаемого С.

Следовательно, формула

F(x) + С, (2)

Где -∞ < C < +∞, a F(x) – какая-либо первообразная для функции f(x), исчерпывает всю совокупность первообразных для данной функции f(x).

В дальнейшем мы будем предполагать, если явно не оговорено противное, что рассматриваемая функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном промежутке .

Введем теперь основное понятие интегрального исчисления – понятие неопределенного интеграла.

Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обозначается символом

.

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением.

Вспоминая определение первообразной, можно сказать, что неопределенный интеграл на данном промежутке является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, а следовательно, производная которой по переменной х равна подынтегральной функции f(x) во всех точках рассматриваемого промежутка.

Пусть F(x) – некоторая вполне определенная первообразная для функции f(x). Как мы видели, всякая другая первообразная этой функции имеет вид F(x) + С, где С – некоторая постоянная. Согласно определению неопределенного интеграла можно написать

=F(x) + С, (3)

где и постоянная С может принимать любое значение, и поэтому называется произвольной постоянной.

Пример. Как мы видели, для функции одной из первообразных является функция . Поэтому

.

Геометрически неопределенный интеграл у=F(x)+C представляет собой семейство «параллельных» кривых (рис.2)