Теорема. Пусть U(P) и V(P) — векторные пространства над одним и тем же полем Р;

Пусть U(P) и V(P) — векторные пространства над одним и тем же полем Р;

— базис U(P), — произвольные векторы из V(P).

Тогда существует единственное линейное отображение удовлетворяющее условиям (1)

Доказательство .

Отображение определим равенством

для любых

Отображение удовлетворяет условиям (1).

Например, при получаем и т.д.

Докажем линейность отображения .

По определению отображения

= таким образом, — линейное отображение.

Предположим, что : U® V — это линейное отображение, удовлетворяющее условиям

Для любого вектора

то есть

Следствие 1. Пусть U(P), V(P) — векторные пространства, — базис U; и — линейные отображения U в V, такие, что Тогда .

Следствие 2. Пусть — базис V(P), — произвольные векторы из V. Существует единственный линейный оператор удовлетворяющий условиям (1).