![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Общее решение простейшего ДУ второго порядка находят, выполняя последовательно два интегрирования, и записывают в виде:
.
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка должно обязательно содержать две разные произвольные постоянные.
Данное уравнение дважды проинтегрируем. После первого интегрирования получим: . Интеграл вычислим (с точностью до постоянного слагаемого) методом интегрирования по частям. Получим:
. Тогда
.
После второго интегрирования получим:
.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого). Получим:
;
;
.
Тогда
.
Ответ: .
Решение б). Сначала найдём общее решение ДУ в виде: , где
- фундаментальная система его частных решений.
Общее решение однородного линейного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
, где
- фундаментальная система его частных решений;
-произвольные постоянные.
Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения
. А именно:
1) если - пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид
;
2) если - пара одинаковых
действительных корней, то ФСР имеет вид
;
3) если - пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид
.
Корни характеристического уравнения , являющегося квадратным, находят на множестве комплексных чисел по формулам:
1) если дискриминант уравнения , то
;
2) если дискриминант уравнения , то
.
Для нахождения ФСР, составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант
, то
,
, т.е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид
.
Тогда общее решение данного ДУ запишется в виде: .
Теперь найдём частное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: ,
. Для этого сначала найдём производную
общего решения:
. Затем подставим начальные данные в выражения для общего решения и его производной, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения значений произвольных постоянных
и
:
.
Решив систему, найдём: ,
. Тогда частное решение данного ДУ запишется в виде:
.
Ответ: ;
.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 263 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!