Ответ: ,

Решение б).

Для нахождения локальных экстремумов дифференцируемой функции необходимо:

1) Найти область определения функции.

2) Найти первые частные производные и функции.

3) Решить систему уравнений (необходимое условие экстремума) и найти точки (с учётом возможных дополнительных ограничений на значения аргументов ) возможного локального экстремума функции.

4) Найти вторые частные производные , , ; составить выражение и вычислить значения и в каждой точке возможного экстремума.

5) Сделать вывод о наличии экстремумов функции , используя достаточное условие экстремума: если , то в точке экстремума нет; если и , то в точке - локальный минимум; если и , то в точке - локальный максимум; если , то требуется дополнительное исследование точки (например, по определению).

6) Найти локальные экстремумы (экстремальные значения) функции.

1б) Находим область определения функции .

2б) Находим первые частные производные и :

;

.

3б) Составим систему уравнений и решим её. Получим четыре решения: , , , . Из них точками возможного экстремума функции в области являются только две точки: и .

4б) Находим вторые частные производные:

;

;

,

составляем выражение и вычисляем:

; , .

5б) Делаем вывод о наличии экстремумов. Так как:

, то в точке экстремума нет;

, , то в точке - локальный минимум.

6б) Находим локальный минимум

.