![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
а) Рассмотрим событие { сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одного из кубиков появится шестерка }.
Элементарными исходами данного испытания (подбрасывание двух игральных кубиков) являются всевозможные комбинации очков: , которые могут появиться на верхних гранях двух кубиков.
Общее число элементарных исходов данного испытания найдём, используя правило умножения комбинаторики.
Пусть ,
– действия из некоторого конечного множества действий.
Правило умножения. Если действие можно выполнить
способами и, после каждого такого выполнения, действие
можно выполнить
способами, то последовательное выполнение пары действий
и
можно осуществить
способами.
На каждом игральном кубике 6 граней, поэтому возможны шесть исходов бросания каждого из них. Если испытание представить в виде последовательно выполняемых подбрасываний кубиков, то первое подбрасывание можно выполнить способами, второе подбрасывание -
способами, тогда последовательно выполняемое подбрасывание двух кубиков можно осуществить
способами.
Общее число элементарных исходов можно найти и, выписав непосредственно все возможные исходы испытания:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
Теперь найдём число элементарных исходов данного испытания, благоприятных событию
, выписав их непосредственно. Такими исходами, очевидно, являются: (2,6); (4,6); (6,2); (6,4); (6,6). Их число
.
Тогда искомая вероятность .
Ответ: .
б) Рассмотрим события: { среди четырёх вынутых шаров - 2 белых },
{ среди четырёх вынутых шаров – не более одного белого шара },
{ среди четырёх вынутых шаров - хотя бы один белый шар }.
Элементарными исходами данного испытания (случайное вынимание четырех шаров) являются всевозможные комбинации по 4 шара из находящихся в урне 11 шаров.
Для подсчёта общего числа элементарных исходов данного испытания и чисел
элементарных исходов, благоприятных событиям
, используем правила и формулы комбинаторики.
Пусть ,
– действия из некоторого конечного множества действий.
Правило сложения. Если действие можно выполнить
способами, действие
- другими
способами, отличными от первых
, то выполнение одного из действий: или
, или
(но не двух одновременно) можно осуществить
способами.
Сочетаниями из элементов по
называются всевозможные комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в одновременном неупорядоченном выборе без возвращения
элементов из
различных элементов, а их общее число
определяется формулой:
, где
,
.
Общее число элементарных исходов данного испытания, очевидно, равно числу всевозможных неупорядоченных комбинаций по 4 шара из находящихся в урне 11 шаров, т.е. числу сочетаний
. Тогда:
.
Подсчитаем теперь число элементарных исходов благоприятных событиям
, соответственно.
Событие {среди четырёх вынутых шаров - 2 белых} означает, что среди вынутых шаров – «2 белых и 2 черных шара». Следовательно, благоприятными событию
являются всевозможные комбинации по 4 шара (два белых и два черных шара) из находящихся в урне 11 шаров. Их число
найдём, используя правило умножения комбинаторики. Представим для этого выбор четырёх шаров в виде двух последовательно выполняемых действий: сначала выбор двух белых шаров из имеющихся в урне 6 белых шаров и затем выбор двух чёрных шаров из имеющихся в урне 5 чёрных шаров. Получим:
. Тогда:
Событие { среди четырёх вынутых шаров – не более одного белого шара } означает, что среди вынутых шаров - или «один белый и три черных шара», или «четыре чёрных шара». Следовательно, благоприятствующими событию
являются всевозможные комбинации по 4 шара (один белый и три черных или четыре черных шара) из находящихся в урне 11 шаров. Их число
найдём, используя правила сложения и умножения комбинаторики. Сначала, используя правило умножения комбинаторики, найдём число способов выбрать один белый и три черных шара. Получим
. Затем, используя правило умножения комбинаторики, найдём число способов выбрать 4 чёрных шара. Получим
. Теперь, используя правило сложения комбинаторики, найдём число
способов выбрать или один белый и три чёрных шара, или четыре чёрных шара. Получим
. Тогда
.
Событие { среди четырёх вынутых шаров-хотя бы один белый шар } определяется словами «хотя бы один…». Прямое решение задачи, учитывая, что событие
означает, среди вынутых шаров: или «один белый и три черных шара», или «два белых и два черных шара», или «три белых и один черный шар», или «четыре белых шара», приводит к громоздким вычислениям. Поэтому сначала найдём вероятность противоположного события
={ среди вынутых четырёх шаров нет ни одного белого шара, т.е. все шары – черные }. Получим
, тогда
. Затем по формуле
найдём вероятность искомого события:
.
Ответ: ;
;
.
161-170. Требуется найти вероятности указанных событий, используя:
а) формулы сложения и умножения вероятностей;
б) формулу Бернулли;
а) Экзаменационная сессия состоит из трёх экзаменов. Студент оценивает свои шансы успешно сдать экзамены следующим образом: вероятность сдать первый экзамен - 0.8, второй – 0.9, третий – 0.7. Найти вероятности того, что студентом будут успешно сданы: «все три экзамена», «по крайней мере два экзамена», «хотя бы один экзамен». Предполагается, что сдача экзаменов – независимые события.
б) В урне 15 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров окажется не более двух белых.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 288 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!