Решение. а) Рассмотрим событие {сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одного из кубиков появится шестерка}

а) Рассмотрим событие { сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одного из кубиков появится шестерка }.

Элементарными исходами данного испытания (подбрасывание двух игральных кубиков) являются всевозможные комбинации очков: , которые могут появиться на верхних гранях двух кубиков.

Общее число элементарных исходов данного испытания найдём, используя правило умножения комбинаторики.

Пусть , – действия из некоторого конечного множества действий.

Правило умножения. Если действие можно выполнить способами и, после каждого такого выполнения, действие можно выполнить способами, то последовательное выполнение пары действий и можно осуществить способами.

На каждом игральном кубике 6 граней, поэтому возможны шесть исходов бросания каждого из них. Если испытание представить в виде последовательно выполняемых подбрасываний кубиков, то первое подбрасывание можно выполнить способами, второе подбрасывание - способами, тогда последовательно выполняемое подбрасывание двух кубиков можно осуществить способами.

Общее число элементарных исходов можно найти и, выписав непосредственно все возможные исходы испытания:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

Теперь найдём число элементарных исходов данного испытания, благоприятных событию , выписав их непосредственно. Такими исходами, очевидно, являются: (2,6); (4,6); (6,2); (6,4); (6,6). Их число .

Тогда искомая вероятность .

Ответ: .

б) Рассмотрим события: { среди четырёх вынутых шаров - 2 белых }, { среди четырёх вынутых шаров – не более одного белого шара }, { среди четырёх вынутых шаров - хотя бы один белый шар }.

Элементарными исходами данного испытания (случайное вынимание четырех шаров) являются всевозможные комбинации по 4 шара из находящихся в урне 11 шаров.

Для подсчёта общего числа элементарных исходов данного испытания и чисел элементарных исходов, благоприятных событиям , используем правила и формулы комбинаторики.

Пусть , – действия из некоторого конечного множества действий.

Правило сложения. Если действие можно выполнить способами, действие - другими способами, отличными от первых , то выполнение одного из действий: или , или (но не двух одновременно) можно осуществить способами.

Сочетаниями из элементов по называются всевозможные комбинации элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов. Они рассматриваются как элементарные исходы эксперимента, состоящего в одновременном неупорядоченном выборе без возвращения элементов из различных элементов, а их общее число определяется формулой:

, где , .

Общее число элементарных исходов данного испытания, очевидно, равно числу всевозможных неупорядоченных комбинаций по 4 шара из находящихся в урне 11 шаров, т.е. числу сочетаний . Тогда:

.

Подсчитаем теперь число элементарных исходов благоприятных событиям , соответственно.

Событие {среди четырёх вынутых шаров - 2 белых} означает, что среди вынутых шаров – «2 белых и 2 черных шара». Следовательно, благоприятными событию являются всевозможные комбинации по 4 шара (два белых и два черных шара) из находящихся в урне 11 шаров. Их число найдём, используя правило умножения комбинаторики. Представим для этого выбор четырёх шаров в виде двух последовательно выполняемых действий: сначала выбор двух белых шаров из имеющихся в урне 6 белых шаров и затем выбор двух чёрных шаров из имеющихся в урне 5 чёрных шаров. Получим: . Тогда:

Событие { среди четырёх вынутых шаров – не более одного белого шара } означает, что среди вынутых шаров - или «один белый и три черных шара», или «четыре чёрных шара». Следовательно, благоприятствующими событию являются всевозможные комбинации по 4 шара (один белый и три черных или четыре черных шара) из находящихся в урне 11 шаров. Их число найдём, используя правила сложения и умножения комбинаторики. Сначала, используя правило умножения комбинаторики, найдём число способов выбрать один белый и три черных шара. Получим . Затем, используя правило умножения комбинаторики, найдём число способов выбрать 4 чёрных шара. Получим . Теперь, используя правило сложения комбинаторики, найдём число способов выбрать или один белый и три чёрных шара, или четыре чёрных шара. Получим . Тогда .

Событие { среди четырёх вынутых шаров-хотя бы один белый шар } определяется словами «хотя бы один…». Прямое решение задачи, учитывая, что событие означает, среди вынутых шаров: или «один белый и три черных шара», или «два белых и два черных шара», или «три белых и один черный шар», или «четыре белых шара», приводит к громоздким вычислениям. Поэтому сначала найдём вероятность противоположного события ={ среди вынутых четырёх шаров нет ни одного белого шара, т.е. все шары – черные }. Получим , тогда . Затем по формуле найдём вероятность искомого события: .

Ответ: ; ; .

161-170. Требуется найти вероятности указанных событий, используя:

а) формулы сложения и умножения вероятностей;

б) формулу Бернулли;

а) Экзаменационная сессия состоит из трёх экзаменов. Студент оценивает свои шансы успешно сдать экзамены следующим образом: вероятность сдать первый экзамен - 0.8, второй – 0.9, третий – 0.7. Найти вероятности того, что студентом будут успешно сданы: «все три экзамена», «по крайней мере два экзамена», «хотя бы один экзамен». Предполагается, что сдача экзаменов – независимые события.

б) В урне 15 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров окажется не более двух белых.