Решение б)

Схемой Бернулли называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям: 1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов: «успех» (появление некоторого события ) и «неудача»; 2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность «успеха» в каждом следующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний; 3) вероятность «успеха» во всех испытаниях одинакова и равна .

Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно «успехов», определяется формулой Бернулли:

, .

Следствием формулы Бернулли является формула: - вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли «успех» наступит хотя бы один раз.

Для решения задач с использованием формулы Бернулли следует:

1) установить, что эксперимент представляет собой схему Бернулли (вероятности событий, связанных с таким экспериментом, всегда можно выразить через вероятности , вычисляемые по формуле Бернулли);

2) рассмотреть событие , которое может наступить или не наступить в каждом испытании и вычислить его вероятность ;

3) рассмотреть событие , вероятность которого нужно найти и которое состоит в том, что событие в данном эксперименте появляется определённое число раз;

4) найти , выразив её предварительно, через вероятности , вычисляемые по формуле Бернулли.

Эксперимент (последовательный выбор пяти шаров из урны с неизменным составом шаров) представляет собой, очевидно, схему Бернулли.

Рассмотрим событие {вынутый из урны шар – белый}. Это событие происходит или не происходит при каждом выборе шара из урны с одной и той же вероятностью .

Рассмотрим событие {из пяти вынутых из урны шаров, белых - не более двух}. Таким образом, событие состоит в том, что в данном эксперименте событие произойдёт или раза.

Выразим через -вероятности того, что событие в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно раз: .

Вычислим вероятности по формуле Бернулли:

,

,

.

Тогда .

Ответ: - вероятность того, что среди пяти вынутых шаров окажутся не более двух белых шаров.

171-180. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытания для каждого из приборов равна 0.9. Требуется: составить закон распределения дискретной случайной величины – числа испытанных приборов; построить многоугольник полученного распределения; вычислить её математическое ожидание и дисперсию .

Решение.

Закон распределения ДСВ удобно задавать рядом распределения. Рядом распределения ДСВ называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности .

Случайная величина – число испытанных приборов, может, очевидно, принимать значения: . Вычислим вероятности этих значений , используя формулы сложения и умножения вероятностей.

Для вычисления вероятностей могут, в зависимости от условий задачи, использоваться также формулы классического определения вероятности и Бернулли.

Рассмотрим события { - ый испытанный прибор – надёжный } (), вероятность которых одинакова и равна . Противоположными к событиям являются события { - ый испытанный прибор–ненадёжный }, вероятность их одинакова и равна .

Выразим события , где , через события и :

{испытывался один прибор},

{испытывались два прибора},

{испытывались три прибора},

{испытывались четыре прибора},

{испытывались все пять приборов}. Очевидно, все пять приборов будут испытаны только при условии, что первые четыре оказались надежными, причем они будут испытаны при любом исходе пятого испытания: или .

Вычислим вероятности , используя формулы умножения вероятностей для независимых, по условиям задачи, событий и :

,

,

.

.

Если при вычислении вероятностей производится округление их значений, то округление выполняется таким образом, чтобы .

Тогда ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид:

.

Для наглядности закон распределения ДСВ изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру и называют многоугольником распределения.

Построим многоугольник полученного распределения:

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется число .

Вычислим математическое ожидание :

.

Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число .Дисперсию дискретной случайной величины вычисляют по формулам: или .

Дисперсию вычислим по формуле , где

.

Тогда .

Ответ: , , .

181-190. Дана выборка объема :

23 23 21 20 20 23 23 25 23 20 20 24 21 25 21

Требуется: а) построить вариационный и дискретный статистический ряды;

б) вычислить числовые характеристики выборки: , , (размах), (среднее арифметическое), (дисперсию); в) построить полигон частот.