Обратные матрицы

Введем понятие обратной матрицы. Пусть задана квадратная матрица

.

Если существует такая матрица , что выполняются равенства

,

то матрица называется обратной для матрицы .

Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

1. Найти определитель матрицы :

= .

Если , то матрица не имеет обратной .

2. Вычислить алгебраические дополнения каждого элемента матрицы с учетом, что , где – минор элемента . Составить матрицу из этих алгебраических дополнений:

;

3. Найти матрицу – транспонированную матрице , т. е. в матрице поменять местами строки и столбцы: если , то в транспонированной ее строки запишем как столбцы:

;

4. Разделить каждый элемент матрицы на определитель . Получим обратную матрицу

.

Пример 8.

.

Найти обратную матрицу .

РЕШЕНИЕ.

1) Составляем и вычисляем определитель (разложением по первому столбцу)

.

2) Теперь надо ычислить все алгебраические дополнения: ; ; ; ; ; ; ; .

Вычисляем : вычеркиваем первую строку и первый столбец:

Вычисляем . Вычеркиваем первую строку и второй столбец.

.

.

Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения:

(их удобно сразу записывать «на своих местах»).

Составим матрицу

3) Транспонируем матрицу. Получаем

4) И вот наконец обратная матрица получена:

. Или, если внести ½:

A .